從斐波那契數列談談代碼的性能優化

根據高德納（Donald Ervin Knuth）的《計算機程序設計藝術》（The Art of Computer Programming），
1150年印度數學家Gopala和金月在研究箱子包裝物件長寬恰好爲1和2的可行方法數目時，首先描述這個數列。
在西方，最早研究這個數列的人是比薩的列奧那多（意大利人斐波那契Leonardo Fibonacci），
他描述兔子生長的數目時用上了這數列:

• 第一個月初有一對剛誕生的兔子
• 第二個月以後（第三個月初）它們能夠生育
• 每個月每對可生育的兔子會誕生下一對新兔子
• 兔子永不死去

假設在n月有兔子總共a對，n+1月總共有b對。在n+2月一定總共有a+b對：

由於在n+2月的時候，前一月（n+1月）的b對兔子能夠存留至第n+2月（在當月屬於新誕生的兔子尚不能生育）。而新生育出的兔子對數等於全部在n月就已存在的a對

費波那契數列由0和1開始，以後的費波那契係數就是由以前的兩數相加而得出:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233……

若是用數學語言來描述大概是下面這個樣子：

$$F_0 = 0$$

$$F_1 = 1$$

$$Fn = F(n-1) + F_(n-2)$$

遞歸求解

學過編程的人，第一反應確定是用遞歸求解：

def fib(n):
    assert n >= 0, 'input invalid'
    return n if n<=1 else fib(n-1) + fib(n-2)複製代碼

function fib(n) {
    return n <= 1 ? n : fib(n - 1) + fib(n - 2);
}複製代碼

遞歸的好處就是代碼清晰明瞭，寫起來乾淨利索，絲毫沒有拖泥帶水的感受

這種遞歸求解的方法的過程能夠簡化爲以下圖所示的二叉樹：

斐波那契二叉樹

總的計算量近似能夠等於高度爲n-1的二叉樹的節點總數，因此它的時間複雜度爲O(2^n)

下面是我統計不一樣語言用遞歸算法求解斐波那契數列第41項所需的時間：

fibonacci_speed_compare

ps：這裏直接用的系統自帶的time命令來統計的運行時間等信息

爲何不建議使用遞歸來求解

因爲龜叔認爲程序員根本用不到遞歸，因此一直拒絕爲python加上尾遞歸優化，甚至當遞歸深度超過1000時，直接拋出RuntimeError: maximum recursion depth exceeded
具體內容請參見：Tail Recursion Elimination

那篇09年的博客裏是這樣說的:

我不認爲遞歸是編程的基礎。遞歸是一些計算機科學家們，尤爲是那些熱愛Scheme （lisp的一支）和喜歡用‘cons’ 來教表頭表尾和遞歸的人們。
可是對我（Guido）來講，遞歸只是一些爲基礎數學研究而存在的理論手段（例如分形幾何學），而不是平常的編程工具。

Python的哲學是「作一件事情有且只有一種方法」（There should be one-- and preferably only one --obvious way to do it.）
龜叔堅持不給Python加上尾遞歸的優化偏偏體現了這種哲學，這個設計哲學不只減輕了人們在開發時的認知負擔和選擇成本，對於提升開發效率是頗有幫助的。
同時，這個特色使得不一樣的人用Python寫出來的代碼不至於相差很大，這對於團隊合做也是頗有用的。

遞歸轉化爲非遞歸求解

因此咱們的斐波那契數列固然不能直接用遞歸求解啦，比較常見的思路是把遞歸改成遞推，把斐波那契的前兩項先初始化爲數組，
而後根據f(n) = f(n-1) + f(n-2)用循環一次算出後面的每一項，這種算法的時間複雜度爲O(n)。
我在個人電腦上測了一下，下面這段代碼求第41項只用了0.02秒。

def fast_fib(n):
    f = [0, 1]
    for i in range(2, n+1):
        f.append(f[i-1] + f[i-2])
    return f[n]複製代碼

比較一下遞歸法和遞推法：

兩者都用了分治的思想——把目標問題拆爲若干個小問題，利用小問題的解獲得目標問題的解。
兩者的區別實際上就是普通分治算法和動態規劃的區別。

問題結束了嗎

其實還有一個更加巧妙的辦法（利用通項公式求解除外）

咱們先把斐波那契數列中相鄰的兩項：F(n)和F(n - 1)寫成一個2x1的矩陣，而後對其進行變形：

繼續推導能夠獲得：

利用矩陣來運算的話，整個算法的時間複雜度是O(log n)，空間複雜度是O(1)

斐波那契數列通項公式的推導也是個頗有意思的題目，能夠利用生成函數來推導，這裏就不展開了

原文連接： 從斐波那契數列談談代碼的性能優化