斐波那契數列的性質

斐波那契遞推式：

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斐波那契通項公式：

求證過程以下：

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斐波那契和矩陣的關係：

描述這個。那仍是描述矩陣和線性遞推式的關係吧

線性遞推式。即F(n)和F(n-1),F(n-2),F(n-3),F(n-4)...其階均是一次的關係。

如F(n)=2F(n-1)+F(n-2).F(n)=F(n-1)+2F(n-3)+4F(n-4)...

矩陣能夠求解這樣的遞推式。也就是說能夠快速計算F(n).時間複雜度能夠到達log(n)級別。

 

先介紹一下咱們須要用到的關於矩陣的知識。

描述矩陣規模時：n行m列。即大小爲n*m.

矩陣乘法：

 

形狀上：2*2 和 2*3 的矩陣乘積後,結果是2*3的矩陣。

           即 a*b 矩陣 和 c*d的矩陣乘積結果是a*d的矩陣。             其中b和c必須相等。緣由看下面。

運算法則：對於結果矩陣的第i行第j列的位置的結果是由前一個矩陣的對應的行。和後一個矩陣對應的列。對應位置  　　　　　乘積和得到的。好比第1行第1列的11.是由前矩陣的第一行(1,3)和後矩陣的第一列(2,3)對應位置乘　　　　　　積和。1*2+3*3 = 11 得到的。若是上述b和c若是不相等。那麼會有地方"失配"沒有數值能夠進行　　　　　　計算。不符合矩陣乘法定義。

矩陣乘法性質：

　　　　　矩陣乘法不符合交換律。符合結合律。（具體不分析了。稍加思考即得。）

 

矩陣的冪運算：

即計算如下式子。

其中樸素想法能夠經過一步一步矩陣乘法來得到結果矩陣。

可是從宏觀角度上去想。咱們把矩陣的乘法理解成一種普通的數的乘法。咱們如今要計算數的冪。

能夠類比快速冪。那麼矩陣也有矩陣的快速冪。分治思想。具體實現其實就是快速冪把乘法那部分改爲矩陣乘法便可。代碼百度上有不少。等下我會放一份。（acdreamer矩陣的模板）

 

矩陣計算遞推式。

好比:對於F(n)=aF(n-1)+bF(n-2)

咱們能夠構造矩陣和矩陣

兩者乘積爲：

會發現通過一次乘積。咱們能夠得到矩陣。那麼咱們再將這個矩陣乘一次

就會獲得F(3),F(2)的矩陣。因此咱們能夠發現。只要咱們將咱們的初始矩陣乘咱們構造出來的1,1,1,0矩陣n-1次。就能得到F(n),F(n-1)的矩陣。而後F(n)就是咱們想要的了。而乘n-1次1,1,1,0矩陣。根據結合律。咱們可讓1,1,1,0矩陣自乘n-1次。最後再乘初始矩陣便可得到最後咱們想要的結果。

即求。咱們能夠利用快速矩陣冪。就能夠在log(n)複雜度中解決了。

 

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關於斐波那契的一些恆等式：

 

 

具體證實：1~4.都是用相似的方法。我提一提。就好吧。

好比1. F(1)=F(3)-F(1) ， F(2)= F(4)-F(3)。。。F(n)=F(n+2)-F(n+1)

相似的分解。而後求和就能得到結果了。

對於5.F(n)=F(n-1)+F(n-2)

　　　F(n)=2F(n-2)+F(n-3)

　　　F(n)=3F(n-3)+2F(n-4)

　　　...

　　　F(n)=F(m)F(n-m+1)+F(m-1)F(n-m)

對於6.是個很著名的式子。要想知道證實。百度有好多。就不贅述了。（並且如今還沒用過這個式子。）

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斐波那契的數論相關：

性質1：

證實：先證實斐波那契數列相鄰兩項是互素的。

反證法:假設不互素。那麼有a=gcd(F(n),F(n-1)),a>1.

　　　 那麼對於F(n)=F(n-1)+F(n-2).由於a|F(n),a|F(n-1),因此a|F(n-2).

　　　因爲a|F(n-1),a|F(n-2).又能夠得到a|F(n-3)...能夠知道a|F(1)其中。F(1)=1.

　　　若是a|F(1)->a|1那麼與a>1不符。相鄰互素得證.(其實 a|F(2)就已經不行了.)　　　　

　　　

　　　那麼再由上面斐波那契恆等式5.能夠推理。

　　　

　　　中間推導依靠一小點數論知識.觀察開始式子和結果。

　　　一直將上式遞推下去。結合gcd(n,m)=gcd(n-m,m).結果會是gcd(a,b) = gcd(0,gcd(a,b))

　　　那麼就能夠證實上述式子成立。

 

性質2：

證實:當n|m時。

 

　　必要性也能夠經過相似手法得證。

 

 

 1 #include<iostream>
 2 #include<stdio.h>
 3 #include<string.h>
 4 #include<string>
 5 #include<algorithm>
 6 #define LL long long
 7 #define N 2
 8 #define MOD 100000007
 9 using namespace std;
10 
11 struct Matrix
12 {
13     LL m[N][N];
14 };
15 
16 Matrix A = {
17     1,1,
18     1,0
19 };
20 Matrix I = {
21     1,0,
22     0,1
23 };
24 Matrix multi(Matrix a,Matrix b)
25 {
26     Matrix c;
27     int i,j,k;
28     for(i=0;i<N;i++)
29     {
30         for(j=0;j<N;j++)
31         {
32             c.m[i][j] = 0;
33             for(k=0;k<N;k++)
34             {
35                 c.m[i][j] += a.m[i][k] * b.m[k][j] % MOD;
36             }
37             c.m[i][j] %= MOD;
38         }
39     }
40     return c;
41 }
42 Matrix mat_pow(Matrix A,int k)
43 {
44     Matrix ans = I,p = A; //爲了 不更改I 和 A
45     while(k)
46     {
47         if(k&1)
48         {
49             ans = multi(ans,p);
50         }
51         k >>= 1;
52         p = multi(p,p);
53     }
54     return ans;
55 }
56 
57 int main()
58 {
59     int n;
60     while(scanf("%d",&n)!=EOF)
61     {
62         Matrix ans = mat_pow(A,n-1);
63         printf("%I64d\n",ans.m[0][0]);
64         
65     }
66     return 0;
67 }

Matrix