復旦大學2017--2018學年第二學期（17級）高等代數II期末考試第六大題解答

6、(本題10分)   設 $A$ 爲 $n$ 階冪零陣 (即存在正整數 $k$, 使得 $A^k=0$), 證實: $e^A$ 與 $I_n+A$ 類似.

證實  由 $A$ 是冪零陣可知, $A$ 的特徵值全爲零. 設 $P$ 爲非異陣, 使得 $$P^{-1}AP=J=\mathrm{diag}\{J_{r_1}(0),J_{r_2}(0),\cdots,J_{r_k}(0)\}$$ 爲 Jordan 標準型. 下面經過三段論法來證實本題的結論.

Step 1$-$對 Jordan 塊 $J_{r_i}(0)$ 進行證實. 注意到 $$e^{J_{r_i}(0)}=I_{r_i}+\frac{1}{1!}J_{r_i}(0)+\frac{1}{2!}J_{r_i}(0)^2+\cdots+\frac{1}{(r_i-1)!}J_{r_i}(0)^{r_i-1}$$ $$=\begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{1!} & \cdots & \cdots & \dfrac{1}{(r_i-1)!} \\ & 1 & \dfrac{1}{1!} & & \vdots \\ & & \ddots & \ddots & \vdots \\ & & & \ddots & \dfrac{1}{1!} \\ & & & & 1 \\ \end{pmatrix},$$ 故 $e^{J_{r_i}(0)}$ 的特徵值全爲 1, 其幾何重數等於 $r_i-r(e^{J_{r_i}(0)}-I_{r_i})=r_i-(r_i-1)=1$. 所以 $e^{J_{r_i}(0)}$ 只有一個 Jordan 塊, 其 Jordan 標準型爲 $J_{r_i}(1)=I_{r_i}+J_{r_i}(0)$, 即存在非異陣 $Q_i$, 使得 $e^{J_{r_i}(0)}=Q_i(I_{r_i}+J_{r_i}(0))Q_i^{-1}\,(1\leq i\leq k)$.

Step 2$-$對 Jordan 標準型 $J$ 進行證實.  令 $Q=\mathrm{diag}\{Q_1,Q_2,\cdots,Q_k\}$, 則 $Q$ 爲非異陣, 知足 $$e^J=\mathrm{diag}\{e^{J_{r_1}(0)},e^{J_{r_2}(0)},\cdots,e^{J_{r_k}(0)}\}=Q(I_n+J)Q^{-1}.$$

Step 3$-$對通常的矩陣 $A$ 進行證實. 由 Step 1 和 Step 2 可得: $$e^A=e^{PJP^{-1}}=Pe^JP^{-1}=PQ(I_n+J)Q^{-1}P^{-1}=PQ(I_n+P^{-1}AP)Q^{-1}P^{-1}=(PQP^{-1})(I_n+A)(PQP^{-1})^{-1},$$ 即 $e^A$ 與 $I_n+A$ 類似.  $\Box$

注 1  在 Step 1 的證實過程當中, 也能夠用行列式因子或極小多項式的討論來代替幾何重數的討論, 具體請參考高代白皮書的 $\S$ 7.2.6. 另外, 也能夠利用高代白皮書的例 7.34 來證實結論 (由成然同窗提供).

注 2  本題共有 59 位同窗徹底作對 (得分在 9$-$10 之間), 分別是 (排名不分前後): 曾世博、張菲諾、劉宇其、阮兆華、孫澍礫、何宇翔、高誠、張崇軒、魏子傅、吳重霖、陳域、郭宇城、許智錕、徐嘉華、趙鈴雅、成然、史書珣、林妙可言、時天宇、吳漢、張逸倫、戴逸翔、崔鎮濤、朱靜靜、蔣正浩、張君格、餘張偉、魏一鳴、王熙元、林翰嶢、劉星瑀、蔡羽桐、王成文健、詹遠矚、韓卓燁、尹尚煒、葛珈瑋、張昰昊、朱柏青、張雷、汪子怡、劉俊晨、王炯逍、王嘉輝、方博越、李俊博、張繼霖、何瑀、王語姍、鍾函廷、漆川燁、尚振航、陳昱嘉、劉子天、李子靖、張嘉璇、熊子愷、李俊康、程梓兼.