LeetCode 343.整數拆分 - JavaScript

題目描述：給定一個正整數 n，將其拆分爲至少兩個正整數的和，並使這些整數的乘積最大化。 返回你能夠得到的最大乘積。

題目分析

題目中「n 至少能夠拆分爲兩個正整數的和」，這個條件說明了 n 是大於 1 的整數。

對 7 來講，能夠拆成 3+4，最大乘積是 12。

對 8 來講，能夠拆成 3+3+2，最大乘積是 18。

解法 1: 動態規劃

狀態數組dp[i]表示：數字 i 拆分爲至少兩個正整數之和的最大乘積。爲了方便計算，dp 的長度是 n + 1，值初始化爲 1。

顯然dp[2]等於 1，外層循環從 3 開始遍歷，一直到 n 中止。內層循環 j 從 1 開始遍歷，一直到 i 以前中止，它表明着數字 i 能夠拆分紅 j + (i - j)。但 j * (i - j)不必定是最大乘積，由於i-j不必定大於dp[i - j]（數字i-j拆分紅整數之和的最大乘積），這裏要選擇最大的值做爲 dp[i] 的結果。

空間複雜度是 \(O(N)\)，時間複雜度是 \(O(N^2)\)。代碼實現以下：

// ac地址：https://leetcode-cn.com/problems/integer-break/
// 原文地址：https://xxoo521.com/2020-02-15-integer-break/

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var integerBreak = function(n) {
    const dp = new Array(n + 1).fill(1);

    for (let i = 3; i <= n; ++i) {
        for (let j = 1; j < i; ++j) {
            dp[i] = Math.max(dp[i], j * (i - j), j * dp[i - j]);
        }
    }

    return dp[n];
};

解法 2: 貪心法

力扣上此題給出了提示：多試試幾個例子，找出規律。下面說下我找規律的思路。

前面提到：8 拆分爲 3+3+2，此時乘積是最大的。而後就推測出來一個整數，要拆成多個 2 和 3 的和，保證乘積最大。原理很容易理解，由於 2 和 3 能夠合成任何數字，例如5=2+3，可是5 < 2*3；例如6=3+3，可是6<3*3。因此根據貪心算法，就儘可能將原數拆成更多的 3，而後再拆成更多的 2，保證拆出來的整數的乘積結果最大。

但上面的解法還有不足。若是整數 n 的形式是 3k+1，例如 7。按照上面規則，會拆分紅「3 + 3 + 1」。可是在乘法操做中，1 是沒做用的。此時，應該將 1 和 3 變成 4，也就是「3 + 3 + 1」變成「3 + 4」。此時乘積最大。

綜上所述，算法的總體思路是：

• n 除 3 的結果爲 a，餘數是 b
• 當 b 爲 0，直接將 a 個 3 相乘
• 當 b 爲 1，將（a-1）個 3 相乘，再乘以 4
• 當 b 爲 2，將 a 個 3 相乘，再乘以 2

空間複雜度是 O(1)，時間複雜度是 O(1)。代碼實現以下：

// ac地址：https://leetcode-cn.com/problems/integer-break/
// 原文地址：https://xxoo521.com/2020-02-15-integer-break/

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var integerBreak = function(n) {
    if (n === 2) return 1;
    if (n === 3) return 2;
    // a的含義：n能拆成的3的個數
    const a = Math.floor(n / 3);
    const b = n % 3;

    // n是3的倍數
    if (b === 0) return Math.pow(3, a);
    // n是 3k + 1，例如7。拆成三、三、1。因爲有1對結果沒法有貢獻，因此最後的三、1換成4
    if (b === 1) return Math.pow(3, a - 1) * 4;
    return Math.pow(3, a) * 2;
};

若是想了解詳細的數學推理，請參考《Leetcode 343：整數拆分（最詳細的解法！！！）》。

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