AVL平衡二叉樹
平衡二叉樹
二叉樹中全部結點的平衡因子BF的絕對值均小於等於1，即：\(|BF|\leq1\)。平衡因子是，結點的左子樹高度減去右子樹的高度。平衡因子BF絕對值大於1表示二叉樹失衡。ios
插入失衡
兩種狀況：c++
- 結點的平衡因子是
1，向該結點的左子樹插入結點，該結點的平衡因子變爲2，致使失衡； - 結點的平衡因子是
-1，向該結點的右子樹插入結點，該結點的平衡因子變爲-2，致使失衡。
如何解決失衡？函數
關鍵問題是要找到失衡結點，離插入結點最近的失衡結點。this
失衡結點的特色：spa
- 必定是插入結點的祖父結點
- 插入結點時必定通過失衡結點
解決辦法：指針
採用遞歸的方法進行插入，插入成功後會進行回代，所以在回代的過程當中能夠判斷結點是否失衡，從而可以找到離插入結點最近的失衡結點。code
/*
一、判斷二叉樹是否失衡，若失衡返回true，不然返回false
二、若二叉樹失衡，則返回離插入結點最近的結點
*/
bool IsBalanced(BTNode<T> *&T,T key)
{
if(!T)
{
//未找到值爲key的結點，進行插入
Insert(key);
return true;
}
else if(T->data==key)
{
return false;//找到結點key，不可插入
}
else if(T->data>key)
{
bool temp=IsBalanced(T->lchild,key);//若是temp爲真，則表示結點插入到T的左子樹
if(temp)
{
//判斷T的平衡因子，若等於1，則須要調整
}
}
else
{
//同上
}
}
附上完整代碼：排序
#include <iostream>
using namespace std;
//結點結構
template <class T>
class BTNode
{
public:
//結點數據
T data;
//左右孩子指針
BTNode<T> *lchild, *rchild;
//添加平衡因子
int BF;
public:
//構造函數
BTNode(T D, int bf = 0, BTNode<T> *l = NULL, BTNode<T> *r = NULL) : data(D), BF(bf), lchild(l), rchild(r) {}
};
//AVL平衡二叉樹
template <class T>
class AVLTree
{
//私有屬性
private:
//二叉樹根節點
BTNode<T> *root;
private:
//銷燬二叉樹
void Destory(BTNode<T> *&rt)
{
if(rt)
{
this->Destory(rt->lchild);
this->Destory(rt->rchild);
delete rt;
}
}
//二叉樹查找
//和二叉排序樹的查找方法同樣
bool SearchAVL(BTNode<T> *rt, T key, BTNode<T> *&p, BTNode<T> *f = NULL)
{
if (!rt) //查找失敗，返回false
{
p = f; //p指向查找路徑上最後訪問的元素
return false;
}
else if (rt->data == key) //查找成功，返回true
{
p = rt; //p指向查找到的元素
return true;
}
else if (rt->data > key)
{
return this->SearchAVL(rt->lchild, key, p, rt);
}
else
{
return this->SearchAVL(rt->rchild, key, p, rt);
}
}
//左旋處理
void L_Rotate(BTNode<T> *&p)
{
BTNode<T> *R = p->rchild; //R指向p的左孩子
p->rchild = R->lchild; //p的右孩子指向R的左孩子
R->lchild = p; //R的左孩子指向p
p = R; //該二叉樹的根節點變爲R
}
//右旋處理
void R_Rotate(BTNode<T> *&p)
{
BTNode<T> *L = p->lchild;
p->lchild = L->rchild;
L->rchild = p;
p = L;
}
//左平衡處理，已知結點的平衡因子是+2，所以一定是在該結點的左子樹插入的結點
//二叉排序樹的根節點平衡因子的絕對值大於1，需進行平衡處理
void LeftBalance(BTNode<T> *&p)
{
BTNode<T> *L = p->lchild; //L指向p的左孩子
/*
判斷L的平衡因子
若平衡因子爲1，表示新節點插入在L的左子樹
若平衡因子爲-1，表示新節點插入在L的右子樹
*/
switch (L->BF)
{
case 1: //結點插入在L的左子樹，需進行右旋處理
this->R_Rotate(p);
p->BF = 0;
p->rchild->BF = 0; //右旋處理後，需改變旋轉結點的平衡因子
break;
case -1:
{ //結點插入在L的右子樹，需進行雙旋處理
BTNode<T> *L_R = L->rchild;
switch (L_R->BF)
{
case 1: //結點插入在L_R的左子樹
p->BF = -1;
L->BF = 0;
break;
case 0: //結點L_R就是新插入的結點
p->BF = 0;
L->BF = 0;
break;
case -1: //結點插入在L_R的右子樹
p->BF = 0;
L->BF = 1;
break;
}
L_R->BF = 0;
this->L_Rotate(L); //先左旋處理
this->R_Rotate(p); //後右旋處理
break;
}
}
}
//右平衡處理，已知結點的平衡因子是-2，所以一定是在該結點的右子樹插入的結點
void RightBalance(BTNode<T> *&p)
{
BTNode<T> *R = p->rchild;
switch (R->BF)
{
case 1:
{ //新節點插入在R的左子樹上，需進行雙旋處理
BTNode<T> *R_L = R->lchild;
switch (R_L->BF)
{
case 1: //結點插入在R_L的左子樹上
p->BF = 0;
R->BF = -1;
break;
case 0: //R_L就是新插入的結點
p->BF = 0;
R->BF = 0;
break;
case -1: //結點插入在R_L的右子樹上
p->BF = 1;
R->BF = 0;
break;
}
R_L->BF = 0;
this->R_Rotate(R); //先右旋處理
this->L_Rotate(p); //後左旋處理
break;
}
case -1: //新節點插入在R的右子樹上，需進行左旋處理
p->BF = 0;
R->BF = 0;
this->L_Rotate(p);
break;
}
}
//向二叉樹中插入結點，並保持平衡
bool InsertAVL(BTNode<T> *&rt, T key, bool &taller) //taller用來記錄二叉樹是否長高
{
if (!rt) //表示未在二叉樹中找到結點值爲key的結點，需插入結點
{
rt = new BTNode<T>(key, 0, NULL, NULL); //將新節點賦值給rt指針
taller = true;
return true;
}
else if (rt->data == key) //存在key，返回false
{
taller = false;
return false;
}
else if (rt->data > key)
{
if (!this->InsertAVL(rt->lchild, key, taller)) //未插入結點
{
return false;
}
if (taller) //二叉樹長高,表示遞歸回到rt結點
{
switch (rt->BF)
{
case 1: //結點rt的平衡因子爲1，而又在左子樹新插入結點，故結點rt失衡，需調整
this->LeftBalance(rt);
taller = false; //維護狀態，在失衡結點調整後，其祖父結點的平衡因子不會變，故不用更改，結束此模塊遞歸
break;
case 0: //結點rt的平衡因子爲0，在左子樹插入結點，結點rt不會失衡，不用調整
rt->BF = 1;
taller = true; //插入新節點，二叉樹高度增長，繼續此模塊遞歸，找到失衡結點
break;
case -1: //結點rt的平衡因子爲-1，在左子樹插入結點，結點rt不會失衡，不用調整
rt->BF = 0;
taller = false; //插入新節點，二叉樹高度未增，結束此模塊遞歸
break;
}
}
return true;
}
else
{
if (!this->InsertAVL(rt->rchild, key, taller)) //未插入結點
{
return false;
}
if (taller) //二叉樹長高,表示遞歸回到rt結點
{
switch (rt->BF)
{
case 1: //結點rt的平衡因子爲1，而又在右子樹新插入結點，故結點rt不會失衡
rt->BF = 0;
taller = false; //插入新節點，二叉樹高度未增，結束此模塊遞歸
break;
case 0: //結點rt的平衡因子爲0，在右子樹插入結點，結點rt不會失衡，不用調整
rt->BF = -1;
taller = true; //插入新節點，二叉樹高度增長，繼續此模塊遞歸，找到失衡結點
break;
case -1: //結點rt的平衡因子爲-1，在右子樹插入結點，結點rt會失衡，用調整
this->RightBalance(rt);
taller = false; //維護狀態，在失衡結點調整後，其祖父結點的平衡因子不會變，故不用更改，結束此模塊遞歸
break;
}
}
return true;
}
}
//前序遍歷
void PreOrder(BTNode<T> *rt)
{
if (rt)
{
cout << rt->data << " ";
this->PreOrder(rt->lchild);
this->PreOrder(rt->rchild);
}
}
//中序遍歷
void InOrder(BTNode<T> *rt)
{
if(rt)
{
this->InOrder(rt->lchild);
cout<<rt->data<<" ";
this->InOrder(rt->rchild);
}
}
public:
//構造函數
AVLTree() : root(NULL) {}
//拷貝構造函數
AVLTree(const AVLTree<T> &t) {}
//銷燬二叉樹
void Destory()
{
this->Destory(this->root);
this->root=NULL;
}
//析構函數
~AVLTree()
{
this->Destory(this->root);
}
//前序遍歷
void PreOrder()
{
this->PreOrder(this->root);
}
//中序遍歷
void InOrder()
{
this->InOrder(this->root);
}
//二叉樹查找
bool Search(T key, BTNode<T> *&p = NULL)
{
return this->SearchAVL(this->root, key, p, NULL);
}
//插入操做
bool Insert(T key)
{
bool p;
return this->InsertAVL(this->root, key, p);
}
};
int main()
{
AVLTree<int> temp;
for (int i = 0; i < 10; i++)
{
temp.Insert(i);
}
temp.PreOrder();
cout<<endl;
temp.InOrder();
cout<<endl;
system("pause");
return 0;
}
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