平衡二叉樹(AVL)

性質：它是一棵空樹或它的左右兩個子樹的高度差的絕對值不超過1，而且左右兩個子樹都是一棵平衡二叉樹。

 

　　定義：平衡二叉樹或爲空樹,或爲以下性質的二叉排序樹:

  　　（1）左右子樹深度之差的絕對值不超過1;

  　　（2）左右子樹仍然爲平衡二叉樹.

      　平衡因子BF=左子樹深度－右子樹深度.

　　　平衡二叉樹每一個結點的平衡因子只能是1，0，-1。若其絕對值超過1，則該二叉排序樹就是不平衡的。

 　　 如圖所示爲平衡樹和非平衡樹示意圖：

　　平衡二叉樹算法思想：

 　　　　若向平衡二叉樹中插入一個新結點後破壞了平衡二叉樹的平衡性。　　

　　　　（1）LL型平衡旋轉法

 

　　　　　　因爲在A的左孩子B的左子樹上插入結點F，使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。故需進行一次順時針旋轉操做。 即將A的左孩子B向右上旋轉代替A做爲根結點，A向右下旋轉成爲B的右子樹的根結點。而原來B的右子樹則變成A的左子樹。

　　　　（2）RR型平衡旋轉法

　　　　　　因爲在A的右孩子C 的右子樹上插入結點F，使A的平衡因子由-1減至-2而失去平衡。故需進行一次逆時針旋轉操做。即將A的右孩子C向左上旋轉代替A做爲根結點，A向左下旋轉成爲C的左子樹的根結點。而原來C的左子樹則變成A的右子樹。

　　　　（3）LR型平衡旋轉法

　　　　　　因爲在A的左孩子B的右子數上插入結點F，使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。故需進行兩次旋轉操做（先逆時針，後順時針）。即先將A結點的左孩子B的右子樹的根結點D向左上旋轉提高到B結點的位置，而後再把該D結點向右上旋轉提高到A結點的位置。即先使之成爲LL型，再按LL型處理。

 

 　　　　　　如圖中所示，即先將圓圈部分先調整爲平衡樹，而後將其以根結點接到A的左子樹上，此時成爲LL型，再按LL型處理成平衡型。

 

　　　　（4）RL型平衡旋轉法  

 

　　　　　　　因爲在A的右孩子C的左子樹上插入結點F，使A的平衡因子由-1減至-2而失去平衡。故需進行兩次旋轉操做（先順時針，後逆時針），即先將A結點的右孩子C的左子樹的根結點D向右上旋轉提高到C結點的位置，而後再把該D結點向左上旋轉提高到A結點的位置。即先使之成爲RR型，再按RR型處理。

 

 

 

 

 　　　　　　如圖中所示，即先將圓圈部分先調整爲平衡樹，而後將其以根結點接到A的左子樹上，此時成爲RR型，再按RR型處理成平衡型。

　　總結：若是從空樹開始創建，並時刻保持平衡，那麼不平衡只會發生在插入刪除操做上，而不平衡的標誌就是出現bf == 2或者 bf == -2的節點。