平衡二叉樹（AVL）樹

一、平衡二叉樹定義

是一種二叉排序樹（二叉查找樹、二叉搜索樹），其中每一個節點的左子樹和右子樹的高度差不大於1。（左右子樹也是平衡二叉樹）

平衡因子BF = 二叉樹節點的左子樹深度減去右子樹深度 = 節點的平衡因子（BF）

最小不平衡子樹：距離插入節點最近的，且平衡因子的絕對值大於1的節點爲根的子樹。

爲了提升查找效率，把二叉排序樹構形成平衡二叉樹。平衡二叉樹的查找、插入和刪除的時間複雜度都是O(logn)，最壞狀況下，二叉排序樹的查找時間複雜度是O（n）即很是不平衡的斜樹。因此要構造平衡二叉樹提升查找效率。

 

 

2、平衡二叉樹的構建方法：

若向平衡二叉樹中插入一個新結點後破壞了平衡二叉樹的平衡性。首先要找出插入新結點後失去平衡的最小子樹根結點的指針。而後再調整這個子樹中有關結點之間的連接關係，使之成爲新的平衡子樹。當失去平衡的最小子樹被調整爲平衡子樹後，原有其餘全部不平衡子樹無需調整，整個二叉排序樹就又成爲一棵平衡二叉樹。

失去平衡的最小子樹是指以離插入結點最近，且平衡因子絕對值大於 1 的結點做爲根的子樹。假設用 A 表示失去平衡的最小子樹的根結點，則調整該子樹的操做可概括爲下列四種狀況。

（ 1 ） RR 型平衡旋轉法(右旋)

因爲在 A 的左孩子 B 的左子樹上插入結點 F ，使 A 的平衡因子由 1 增至 2 而失去平衡。故需進行一次順時針旋轉操做。 即將 A 的左孩子 B 向右上旋轉代替 A 做爲根結點， A 向右下旋轉成爲 B 的右子樹的根結點。而原來 B 的右子樹則變成 A 的左子樹。

 

（ 2 ） LL 型平衡旋轉法（左旋）

因爲在 A 的右孩子 C  的右子樹上插入結點 F ，使 A 的平衡因子由 -1 減至 -2 而失去平衡。故需進行一次逆時針旋轉操做。即將 A 的右孩子 C 向左上旋轉代替 A 做爲根結點， A 向左下旋轉成爲 C 的左子樹的根結點。而原來 C 的左子樹則變成 A 的右子樹。

 

（ 3 ） LR 型平衡旋轉法（左右）

因爲在 A 的左孩子 B 的右子數上插入結點 F ，使 A 的平衡因子由 1 增至 2 而失去平衡。故需進行兩次旋轉操做（先逆時針，後順時針）。即先將 A 結點的左孩子 B 的右子樹的根結點 D 向左上旋轉提高到 B 結點的位置，而後再把該 D 結點向右上旋轉提高到 A 結點的位置。即先使之成爲 LL 型，再按 LL 型處理 。

 

如圖中所示，即先將圓圈部分先調整爲平衡樹，而後將其以根結點接到 A 的左子樹上，此時成爲 LL 型，再按 LL 型處理成平衡型。

（ 4 ） RL 型平衡旋轉法（右左）

因爲在 A 的右孩子 C 的左子樹上插入結點 F ，使 A 的平衡因子由 -1 減至 -2 而失去平衡。故需進行兩次旋轉操做（先順時針，後逆時針），即先將 A 結點的右孩子 C 的左子樹的根結點 D 向右上旋轉提高到 C 結點的位置，而後再把該 D 結點向左上旋轉提高到 A 結點的位置。即先使之成爲 RR 型，再按 RR 型處理。

 

如圖中所示，即先將圓圈部分先調整爲平衡樹，而後將其以根結點接到 A 的左子樹上，此時成爲 RR 型，再按 RR 型處理成平衡型。

平衡化靠的是旋轉。 參與旋轉的是 3 個節點（其中一個多是外部節點 NULL ），旋轉就是把這 3 個節點轉個位置。注意的是，左旋的時候 p->right 必定不爲空，右旋的時候 p->left 必定不爲空，這是顯而易見的。

若是從空樹開始創建，並時刻保持平衡，那麼不平衡只會發生在插入刪除操做上，而不平衡的標誌就是出現 bf == 2 或者  bf == -2 的節點。