《遊戲引擎架構》筆記十二

碰撞及剛體動力學

 一些碰撞/物理系統：http://www.gamedev.net/community/forums/topic.asp?topic_id=463024

• I-Collide：http://cs.unc.edu/I-COLLIDE
• SWIFT：
• ODE：http://www.ode.org
• Bullet：http://code.google.com/p/bullet/
• TrueAxis：http://trueaxis.com/
• PhysX：
• Havok：
• PAL：http://www.adrianboeing.com/pal/index.ht ml
• DMM：

碰撞檢測系統
物理世界
形狀：

• 相交、
• 接觸（分離矢量，沿該矢量運動就能高效脫離碰撞妝容）、
• 凸（由形狀內發射的光線不會穿越形狀兩次以上）

原型：

• 球體、
• 膠囊體、
• 軸對其包圍盒AABB、
• 定向包圍盒OBB、
• 離散定向多胞形discrete oriented polytope DOP、
• 任意凸體積、
• 多邊形湯（碰撞引擎必須和每一個三角形測試）、
• 複合形狀

碰撞測試：

• 點和球體相交
• 球體和球體相交
• 分離軸定理：凸形狀於該軸（分離軸）上的投影不重疊，能肯定兩個形狀不相交。分離兩個物體的軸/面稱爲分離線/面。三維空間中，分離軸仍然是個軸，分離線變成分離面。能夠把形狀逐一投影到各個潛在分離軸，並檢查投影區間是否相交
• AABB相交：分離軸定理。三個軸x,y,z。只有在三個軸都重疊，纔是相交的。
• 檢測凸碰撞：GJK算法。依賴閔可夫斯基差：把A中的全部點與B中的全部點都成對相減，獲得的集合就是閔可夫斯基差。當且僅當兩個形狀相交，閔可夫斯基差包含原點。GJK嘗試在閔科夫斯基的凸包內，嘗試找出一個包含原點的四面體。若找到，則相交。
• 運動物體間的碰撞：
  • 離散的靜態碰撞；
  • sweep shape掃瓊形狀作靜態測試（結果不許確）；
  • 連續碰撞檢測continuous collision detection CCD，求出最先的衝擊時間TOI

性能優化：

• 利用時間一致性避免每幀從新計算一些類型的信息
• 空間劃分：八叉樹、二元空間分割樹、kd樹等
• 粗略階段，中間階段，精確階段：先AABB測試哪些物體會碰撞；再用符合形狀的逼近包圍體檢測；最終測試碰撞體中個別碰撞原形是否相交。
• 掃瓊裁剪：sweep and prune，對各個膨脹提的AABB的最小，最大座標再三個主軸上排序，而後經過遍歷改有序表檢測AABB之間是否重疊

碰撞查詢：

• 光線投射：投射的物體並不存在於碰撞世界，不會影響其餘物體。返回一個t值，P = P₀（起點） + td（矢量增量）

struct RayCastContact{
    F32     m_t;//此接觸點的t值
    U32    m_collidableId;//擊中哪一個可碰撞體？
    Vector m_normal;//接觸點的法向量
    //其餘信息
};

• 形狀投射：傳回的接觸信息比光線投射更復雜，且必須返回多個接觸點。

struct RayCastContact{
    F32     m_t;//此接觸點的t值
    U32    m_collidableId;//擊中哪一個可碰撞體？
    Point   m_contactPoint;//實際接觸點的位置
    Vector m_normal;//接觸點的法向量
    //其餘信息
};

• Phantom：查詢碰撞體是否在其餘指定體積裏。對於其餘碰撞體是透明的，也不參與動力學模擬。phantom會持續在碰撞世界裏存在。

碰撞過濾：決定碰撞體之間的接觸是否成立

• 碰撞掩碼及碰撞層：對世界中物體分類，而後用一個查找表判斷某類碰撞物體可否與另外一些分類碰撞。
• 碰撞回調：當碰撞庫檢測到碰撞時調用回調函數。回調函數能夠檢查碰撞的具體信息，而後按本身的條件決定接受或拒絕碰撞。
• 碰撞材質：每一個碰撞表面關聯一組屬性，它定義了某種表面在物理上和碰撞上的行爲。包含碰撞屬性，如音效，粒子效果，摩擦係數等等。

剛體動力學

無約束剛體指能夠在3個笛卡爾軸上自由移動，並繞3個軸自由旋轉，所以它含6個自由度（degree of freedom ，DOF）。

無約束剛體的運動分爲兩個部分：

• 線性動力學：剛體除旋轉之外的運動
• 旋轉動力學：剛體的旋轉性運動

對於均勻密度的剛體，其質心位於剛體的幾何中心；若剛體的密度不均勻，那麼就要令每一個小塊以其質量爲權值，求加權平均值做爲整個剛體的質心

  其中， r表示半徑或位置矢量，即從世界空間原點到該點的矢量。

線性動力學（質點）

• 線性速度&加速度
• 力&動量

運動方程求解

• 力做爲函數：位置、速度、時間等的函數（常微分方程（ordinary differential equation ODE））。F(t,r(t),v(t),...) = ma(t)
• 解析解：找到閉合式函數，描述全部可能的時間值t的剛體位置（例如拋物線），可是遊戲中幾乎不可能。
• 數值積分：遊戲引擎使用數值積分求解運動方程
  • 顯示歐拉：一階近似，用切線逼近。
  • 距離近似方程：r(t₂) = r(t₁) + v(t₁)Δt
  • 速度近似方程：v(t₂) = v(t₁) + a(t₁)Δt
• 常微分方程的數值解的特性：
  • 收斂性：Δt趨近於0的時候，近似解趨近真實解？
  • 階數：偏差是O(t^?)
  • 穩定性：數值解是否會穩定下來？

其餘的數值積分方法

• 向後歐拉法
• 中點歐拉法
• Runge-Kutta方法族
• 韋爾萊積分

韋爾萊積分是三階方法，它須要已知待求時間點的前兩個Δt的位置信息或速度信息。其實是經過泰勒展開消去重複項。

待求時間點是t1 + Δt，已知t1和t1 - Δt的位置信息。則：

  相減獲得：

速度韋爾萊積分

• 計算r(t + Δt) = r(t₁) + v(t₁)Δt + 0.5a(t₁)*Δt²
• 計算v(t₁ + 0.5Δt) = v(t₁) + 0.5a(t₁)Δt
• 求a(t₁ + Δt)  (假設a僅僅依賴位置，若是依賴速度，則須要先計算速度近似值)a(t₁ + Δt)  = a(t₂) = m^-1F(t₂,r(t₂),v(t₂))
• 計算v(t + Δt) = v(t₁ + 0.5Δt) + 0.5a(t₁ + Δt)Δt

旋轉動力學（剛體）

• 二維：
  • 定向：角度θ(t)（繞z軸旋轉）
  • 角速率&加速度：

• • 轉動慣量moment of inertia：改變角速率的難易程度。用I表示
  • 力矩torque：用N表示：N = r x F

二維中力矩必然和z軸平行

二維旋轉方程求解

• 顯示歐拉逼近解：

速度韋爾萊積分

三維旋轉動力學：

• 慣性張量：inertia tensor，標記爲I。剛體的旋轉質量由3x3矩陣表示。若是3個主軸對稱，則主對角線之外的元素（也叫慣量積）就是0。物理引擎中慣性張量簡化爲三元素矢量[I_xx, I_yy, I_zz]

剛體的定向能夠用四元數q表示：

三維中的角速度：

三維旋轉動力學中，一個剛體在無外力的狀況下旋轉，其角速度 ω(t)可能不是常量，由於旋轉軸方向可能會不斷改變。所以角速度不守恆，可是角動量（angular momentum，表示爲 L）守恆。

因爲 ω不守恆，因此不會像線性速度通常，視角速度爲一個基本的量。角速度是第二級別的量，在肯定了角動量L後才計算出 ω

三維力矩：N = r x F = Iα = I dω(t)/dt = d(Iω(t))/dt = dL/dt

三維旋轉求解：

須要直接對L求解

將角速度轉化成四元數： ω = [ω _x, ω _y, ω _z, 0]

且：d q(t)/dt = ½ ω(t)) q(t)

顯示歐拉：

須要按期把定向q(t)從新歸一化，以消除浮點小數累計沒法避免的偏差。

碰撞響應

衝量碰撞響應

徹底彈性碰撞無任何能量損失；徹底非彈性碰撞，兩個剛體一塊兒損失動能。

• 根據動量守恆+動能守恆，獲得公式：

• 無摩擦力下瞬時碰撞的牛頓恢復定律：假設接觸點沒有摩擦力，衝量必然垂直於表面法線

恢復係數： v ₂'- v ₁'=ε( v ₂ - v ₁)

將二者求解得

若恢復係數ε爲1，剛體2的有效質量無窮大，則1/m ₂ = 0、v ₂ = 0；則：

其餘碰撞響應方法

• 懲罰性力：力會在短但有限的時間內產生所需的碰撞響應。就相似一個堅硬的阻尼彈簧。它容易實現及理解，適合低速撞擊，但不適合高速移動的物體。
• 約束

摩擦力

• 靜摩擦力
• 滑動摩擦力
• 滾動摩擦力
• 碰撞摩擦力

5. 休眠

將休眠物體移除模擬以外，可是仍然參與碰撞檢測

條件：

• 剛體受到支持
• 剛體的線性和角動量低於閾值
• 線性和角動量的移動平均低於閾值
• 總動能（0.5p·v+0.5L·ω）低於閾值
• 逐漸減慢其運動，使其平滑的中止

Havok中有模擬島：潛在近期會互動的物體組成。模擬島能獨立於其餘島模擬，並以整個島爲單位進入休眠。

6.約束

• 點對點約束：剛體中某個點和其餘剛體的指定點對齊
• 彈簧約束：與點對點約束不一樣的是，它的兩個點會分開一段距離
• 鉸鏈約束：只能繞鉸鏈旋轉。
• 活塞約束：滑移鉸，相似活塞同樣的移動。
• 平面約束

輪子：無限旋轉的鉸鏈+阻尼彈簧加入某種形式的垂直懸掛系統

約束鏈：特殊羣組，內含供求解程序使用的物體鏈接信息。模擬一長串的剛體信息。

布娃娃：剛體用約束互相連接，一般使用約束鏈提升模擬的穩定性。是由物理系統驅動的程序式動畫。

富動力約束（powered constraint）：外部引擎間接控制布娃娃的平移和定向。力+動

畫，力改變更畫

控制剛體的運動

• 引力
• 施加力：多數引擎設計爲每幀調用一次，力的影響也在該幀內
• 施加力矩：改變速度&角速度；力偶：同樣大，方向相反，離質心距離相同的對點上施加。
• 施加衝量：速度瞬間改變，無窮短期內的施力

8.遊戲對象和剛體：

物理驅動的剛體

遊戲驅動的剛體（動畫、玩家驅動）：可看成含有無窮質量，力和力矩沒法改變遊戲驅動剛的速度

固定剛體：不參加動力學模擬，只有碰撞的剛體。

9.更新模擬

• 更新遊戲驅動剛體
• 更新phantom
• 施以力，衝量並調整約束
• 步進模擬：
  • 對運動方程數值積分，求出次幀物理狀態
  • 碰撞檢測
  • 碰撞決議
  • 實行約束
• 更新物理驅動的遊戲對象
• 執行phantom碰撞投射查詢（以回調方式異步查詢or使用上一幀的結果同步查詢）

• 渲染