專題——計數原理

因爲最近在研究數論，因此這期爲你們帶來一個數論中的專題——計數原理，下面咱們來看四個概念：

1、配對原理：

　　對於集合A、B，若是存在一個一一映射，f：A→B，則|A|=|B|，假如咱們很難計算A的值，不如轉變方法，先計算B的值，再根據一一映射反推A，這時就須要找到這樣一個易於計算的B，這須要很高的技巧。
2、容斥原理：

　　<1>容斥原理

　　把集合A分紅子集A₁，A₂，A₃，…,A_m，即：A=A₁∪A₂∪A₃…∪A_m

　　，簡單的來講，要求的集合是等於全集減去全部子集相交的重複的部分。

　　<2>逐步淘汰原理

　　設S爲集合，A_i爲S的子集，記=S-A_i

　　|∩∩…∩|=|S|-|A₁∪A₂∪A₃…∪A_m|

3、算兩次：

　　算兩次這個很好理解，就是經過兩種方法來計算某個值，則這兩種方法等價，創建方程，就能夠把你想要的求出來。

　　典例：皮克定理：

　　一個計算點陣中頂點在格點上的多邊形面積公式：S=a+b÷2-1，其中a表示多邊形內部的點數，b表示多邊形邊界上的點數，S表示多邊形的面積

4、polya數：

　　polya計數是計算對稱狀況下（旋轉和鏡面反射）不等價的狀態。下面給出幾種簡單狀況下的公式，都是考慮對稱的圖形，並且能夠旋轉和翻轉（鏡面反射）。

　　①用p種顏色對一個正五邊形頂點着色，共有[p(p²+4)(p²+1)/10]種不一樣狀況。

　　②用p種顏色對一個正四邊形頂點着色，共有[(p⁴+2p³+3p²+2p)/8]種不一樣狀況。

　　③用p種顏色對一個正三角形頂點着色，共有[(p³+3p²+2p)/6]種不一樣狀況。

 

應用舉例：

例1：有序拆分的種數——配對原理

題目描述 Description

　　把正整數n表示爲若干個正整數之和，和式中的項的不一樣次序，也是不一樣的表達式，例如：4=4=3+1=1+3=2+2=2+1+1=1+2+1=1+1+2=1+1+1+1，共有8種表示方法。上面這種表示稱爲n的有序拆分，把n的有序拆分的種數記爲R(n)，請計算R(n)。

思路：

　　將n分解爲n個1，排成一排，在這些1之間有n-1個空格，在這n-1個空格處填上‘+’表示將兩邊的1相加，填上‘-’表示將這個空格廢除。這樣每一種填‘+’或‘-’的方法對應n個有序拆分，根據配對原理，R(n)等於n-1個空格填‘+’或‘-’的方法數目，填‘-’的方法數明顯就是n-1， 因此填‘+’的方法數就是2^n-1。

例2：平行四邊形的個數——配對原理

題目描述 Description

　　如圖（左）所示，把三角形ABC的三邊各n等分，過各等分點作各邊的平分線，將三角形ABC分割成一些小的平行四邊形，計算這些小平行四邊形的個數。

           

 

思路：

　　先計算不平行於BC的小平行四邊形的個數，把這些小平行四邊形的集合記爲A。

　　如圖（右）所示，延長AB至D，取BD=AB/n，延長AC至E，取CE=AB/n。將直線DE平分爲n+1段，獲得n+2個點（圖中我只畫出了四個點實際上有六個平分點在DE上）。觀察DE邊上任意四點組（I，J，K，L）的集合B，過這四點，左邊兩點向右作平行線，右邊亮點向左邊作平行線，作AB和AC的平行線，惟一肯定一個邊不平行於BC的小平行四邊形（右圖灰色部分）。

　　所以，|A|=|B|=C(n+2,4)，即從DE上的n+2個點選取4個點爲一組的方法總數

　　又由於三角形有三邊，每一條邊均可以作相似選取，因此總的平行四邊形的個數就是3×C(n+2,4)。

例3：書架上的書——容斥原理

題目描述 Description

　　在書架上放有編號爲1,2,…，n的n本書。現將n本書所有取下而後再放回去，當放回去時要求每本書都不能放在原來的位置上。例如：n=3。

　　原來位置爲：1，2，3。

　　放回去時只能爲：3，1，2或2，3，1這兩種。

　　問題：求當n=5時知足以上條件的方法有多少種？

思路：

　　在前面的「旅行」這個問題中，我講過了錯排問題，這題固然能夠用錯排問題公式來解，但這個專題是數論中的計數問題，固然要用逼格高一點的數論方法來求解。

　　咱們分別用A₁~A₅表示1~5號位如今要求每本書都不能在本身的位置上，也就是求|∩∩∩∩|=|S|-|A_i|+Σ|A_i∩A_j|-|A_i∩A_j∩A_k|+…-(-1)^5-1Σ|A₁∩A₂∩…∩A₅|。

　　|S|爲全集，就是1到5放到五個位置的全部狀況，|S|=5！=120。

　　|A₁|就是1在1號位的全部狀況，|A_i|=5×4！=120。

　　|A₁∩A₂|就是1在1號位且2在2號位的狀況，Σ|A_i∩A_j|=C(5,2)×3！=60。

　　同理，|A_i∩A_j∩A_k|=C(5,3)×2！=20，再日後面兩項就是C(5,4)×1！=4和C(5,5)×0！=1。

　　因此，總的狀況爲：120-120+60-20+5-1=44。