【CF715E】Complete the Permutations 第一類斯特林數

題目大意

　　有兩個排列 \(p,q\)，其中有一些位置是空的。

　　你要補全這兩個排列。

　　定義 \(s(p,q)\) 爲 每次交換 \(p\) 中的兩個數，讓 \(p=q\) 的最小操做次數。

　　求 \(s(p,q)=0,1,2,\ldots,n-1\) 的方案數。

　　\(n\leq 300\)

題解

　　考慮 \(s(p,q)\) 怎麼求。

　　對於每個 \(i\)，連一條有向邊 \(p_i\to q_i\)。那麼 \(s(p,q)\) 就是 \(n-\) 圖中環的個數。

　　先把 \(p,q\) 對應的圖建出來，處理一下，算出 \(x\to ?,?\to x,x\to x,?\to ?\) 的邊的個數，記爲 \(s_1,s_2,s_3,s_4\)。

　　有一個結論：若是一個環裏面同時有前兩種邊，那麼必定有第四種邊。

　　記 \(f_i\) 爲用第一種邊搞出了 \(i\) 個環的方案數

　　枚舉選了幾條邊，剩下的邊就拿去和第四種邊插在一塊兒
\[ f_i=\sum_{j=i}^a\binom{a}{j}\begin{bmatrix}j\\i\end{bmatrix}\frac{(d+a-j-1)!}{(d-1)!} \]
　　\(g_i\) 爲用第二種邊搞出了 \(j\) 個環的方案數

　　最後第四種邊搞出 \(i\) 個環的方案數 是
\[ h_i=\begin{bmatrix}d\\i\end{bmatrix} \]
　　由於編號能夠隨便選，因此還要乘上 \(d!\)

　　把這三個方案數卷在一塊兒就行了。

　　時間複雜度：\(O(n^2)\)

代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<functional>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<assert.h>
//using namespace std;
using std::min;
using std::max;
using std::swap;
using std::sort;
using std::reverse;
using std::random_shuffle;
using std::lower_bound;
using std::upper_bound;
using std::unique;
using std::vector;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double db;
typedef std::pair<int,int> pii;
typedef std::pair<ll,ll> pll;
void open(const char *s){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
void open2(const char *s){
#ifdef DEBUG
    char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd(){int s=0,c,b=0;while(((c=getchar())<'0'||c>'9')&&c!='-');if(c=='-'){c=getchar();b=1;}do{s=s*10+c-'0';}while((c=getchar())>='0'&&c<='9');return b?-s:s;}
void put(int x){if(!x){putchar('0');return;}static int c[20];int t=0;while(x){c[++t]=x%10;x/=10;}while(t)putchar(c[t--]+'0');}
int upmin(int &a,int b){if(b<a){a=b;return 1;}return 0;}
int upmax(int &a,int b){if(b>a){a=b;return 1;}return 0;}
const int N=310;
const ll p=998244353;
int fa[N],e1[N],e2[N];
int a[N],b[N];
int n;
int find(int x)
{
    return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
void merge(int x,int y)
{
    x=find(x);
    y=find(y);
    e2[x]++;
    if(x==y)
        return;
    e1[y]+=e1[x];
    e2[y]+=e2[x];
    fa[x]=y;
}
int s1,s2,s3,s4;
ll fac[N],ifac[N],inv[N];
ll f[N],g[N],h[N];
ll ans1[N],ans2[N];
ll s[N][N];
int deg[N];
int c[N];
int c1[N],c2[N],d1[N],d2[N];
ll binom(int x,int y)
{
    return fac[x]*ifac[y]%p*ifac[x-y]%p;
}
int main()
{
    open("cf715e");
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&b[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        fa[i]=i;
        e1[i]=1;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(a[i]&&b[i])
            merge(a[i],b[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]&&find(a[i])==find(b[i])&&e1[a[i]]==e2[a[i]])
        {
            if(find(a[i])==a[i])
                s3++;
        }
        if(a[i])
            a[i]=find(a[i]);
        if(b[i])
            b[i]=find(b[i]);
        if(a[i]&&b[i]!=a[i])
        {
            c1[a[i]]=1;
            d1[a[i]]=bool(b[i]);
        }
        if(b[i]&&a[i]!=b[i])
        {
            c2[b[i]]=1;
            d2[b[i]]=bool(a[i]);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!a[i]&&!b[i])
            s4++;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(c1[i]&&c2[i]&&!d1[i]&&!d2[i])
            s4++;
        else
        {
            if(c1[i]&&!d1[i])
                s1++;
            if(c2[i]&&!d2[i])
                s2++;
        }
    }
    fac[0]=fac[1]=ifac[0]=ifac[1]=inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        inv[i]=(-p/i*inv[p%i]%p+p)%p;
        fac[i]=fac[i-1]*i%p;
        ifac[i]=ifac[i-1]*inv[i]%p;
    }
    s[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            s[i][j]=(s[i-1][j-1]+s[i-1][j]*(i-1))%p;
    if(s4)
    {
        for(int i=0;i<=s1;i++)
            for(int j=i;j<=s1;j++)
                f[i]=(f[i]+binom(s1,j)*s[j][i]%p*fac[s4+s1-j-1]%p*ifac[s4-1])%p;
        for(int i=0;i<=s2;i++)
            for(int j=i;j<=s2;j++)
                g[i]=(g[i]+binom(s2,j)*s[j][i]%p*fac[s4+s2-j-1]%p*ifac[s4-1])%p;
        for(int i=0;i<=s4;i++)
            h[i]=s[s4][i]*fac[s4]%p;
    }
    else
    {
        for(int i=0;i<=s1;i++)
            f[i]=s[s1][i];
        for(int i=0;i<=s2;i++)
            g[i]=s[s2][i];
        h[0]=1;
    }
    for(int i=0;i<=s1;i++)
        for(int j=0;j<=s2;j++)
            ans1[i+j]=(ans1[i+j]+f[i]*g[j])%p;
    for(int i=0;i<=s1+s2;i++)
        for(int j=0;j<=s4;j++)
            ans2[i+j]=(ans2[i+j]+ans1[i]*h[j])%p;
    for(int i=n;i>=1;i--)
        printf("%lld ",i-s3>=0?ans2[i-s3]:0);
    return 0;
}