CF715E Complete the Permutations(第一類斯特林數)

題目

CF715E Complete the Permutations

作法

先考慮無\(0\)排列的最小花費，其實就是沿着置換交換，花費：\(n-\)環個數，因此咱們主要是要求出規定環的個數

考慮連邊\(a_i\rightarrow b_i\)(僅非零數有出邊)，自己造成環的無論(也沒辦法管)，考慮一條除首尾外都不爲\(0\)，首尾至少有一個\(0\)的鏈(鏈)，那麼還有三類：

\(0\rightarrow0(0(a)\)對應的\(b\)是\(0\)或\(b\)的最終點是\(0)\)

\(0\rightarrow x(0(a)\)對應的\(b\)的終點\(x\)無出邊\()\)

\(x\rightarrow 0(x(a)\)對應的\(b\)爲\(0\)或\(b\)的最終點是\(0)\)

記這三類爲個數\(a\)，\(b\)，\(a\)；且\(b\)和\(c\)所構成的環得經過\(a\)間接接通

\(f_i\)爲第二類本身和本身匹配所造成的環個數爲\(i\)個的方案數：
\[f_i=\sum\limits_{j=i}^b\begin{bmatrix}j\\i\end{bmatrix}C_b^j(a+b-j)^{\underline {b-i}}\]

理解：從\(b\)條二類鏈選出\(j\)條，組成\(i\)個環，剩餘的二類鏈隨機匹配，\(x\rightarrow 0\)本身與本身連也是\(x\rightarrow 0\)，與一類就造成\(0\rightarrow0\)，其實最後剩餘的二類鏈就會造成所有變成一類鏈，而一類鏈的數量並不會增多

\(g_i\)爲三類的方案數，構造方法更上方相同，理解也同樣

最後咱們僅剩三類了，此時數量仍是\(c\)，而其中一些三類得貢獻出去給一二類成環，而消耗完了的這些就本身給本身成環就行，一類邊最後還要排列一下：
\[h_i=\begin{bmatrix}a\\i\end{bmatrix}a!\]

咱們獲得的就是一個三式卷積形式，暴力作

Code

#include<bits/stdc++.h>
typedef int LL;
const LL maxn=309,mod=998244353;
inline LL Read(){
    LL x(0),f(1); char c=getchar();
    while(c<'0' || c>'9'){
        if(c=='-') f=-1; c=getchar();
    }
    while(c>='0' && c<='9'){
        x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0'; c=getchar();
    }
    return x*f;
}
LL n,a,b,c,d;
LL visit1[maxn],visit[maxn],nxt[maxn],a1[maxn],b1[maxn],ans[maxn],ru[maxn],fac[maxn];
LL f[maxn],g[maxn],h[maxn];
LL strl1[maxn][maxn],C[maxn][maxn],D[maxn][maxn];
void Dfs(LL x){
    if(!x) return;
    visit1[x]=true;
    visit[x]=true;
    if(nxt[x]!=x){
        if(visit1[nxt[x]]) ++d;
        else{
            Dfs(nxt[x]); nxt[x]=nxt[nxt[x]];
        }
    }
    visit1[x]=0;
}
int main(){
    n=Read();
    for(LL i=1;i<=n;++i) a1[i]=Read();
    for(LL i=1;i<=n;++i) b1[i]=Read();
    for(LL i=1;i<=n;++i) nxt[i]=i;
    for(LL i=1;i<=n;++i){
        if(a1[i]){
            if(a1[i]==b1[i]){
                ++d; visit[a1[i]]=true;
            }
            else{
                nxt[a1[i]]=b1[i];
            }
        }
        if(b1[i]) ++ru[b1[i]];
    }
    for(LL i=1;i<=n;++i) if(!visit[i]) Dfs(i);
    for(LL i=1;i<=n;++i)
        if(!a1[i]){
            if(nxt[b1[i]]) ++b;
            else ++a;
        }else
            if(!ru[a1[i]] && !nxt[b1[i]]) ++c;
    
    strl1[0][0]=strl1[1][1]=1;
    for(LL i=2;i<=n;++i)
        for(LL j=1;j<=i;++j)
            strl1[i][j]=(strl1[i-1][j-1]+1ll*(i-1)*strl1[i-1][j])%mod;
    C[0][0]=1;
    for(LL i=1;i<=n;++i){
        for(LL j=1;j<=i;++j)
            C[i][j]=1ll*(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
        C[i][0]=1;
    }
    D[0][0]=1;
    for(LL i=1;i<=n;++i){
        D[i][0]=1;
        for(LL j=1;j<=i;++j)
            D[i][j]=1ll*D[i][j-1]*(i-j+1)%mod;
    }
    fac[0]=fac[1]=1;
    for(LL i=2;i<=n;++i) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    for(LL i=0;i<=b;++i)
        for(LL j=i;j<=b;++j)
            f[i]=(f[i]+1ll*strl1[j][i]*C[b][j]%mod*(a+b-j-1>=0?D[a+b-j-1][b-j]:1)%mod)%mod;
    for(LL i=0;i<=c;++i){
        for(LL j=i;j<=c;++j)
            g[i]=(g[i]+1ll*strl1[j][i]*C[c][j]%mod*(a+c-j-1>=0?D[a+c-j-1][c-j]:1)%mod)%mod;
    }
    for(LL i=0;i<=a;++i)
        h[i]=1ll*strl1[a][i]*fac[a]%mod;
    for(LL i=0;i<=n;++i)
        for(LL j=0;j<=i;++j)
            for(LL k=0;k<=i-j;++k)
                ans[i]=(ans[i]+1ll*h[j]*f[k]%mod*g[i-j-k]%mod)%mod;
    for(LL i=0;i<n;++i){
        if(n-i-d<0) printf("0 ");
        else printf("%d ",ans[n-i-d]);
    }
    return 0;
}