CF960G(第一類斯特林數)

題目

CF960G

作法

設\(f(i,j)\)爲\(i\)個數的序列，有\(j\)個前綴最大值的方案數

咱們考慮每次添一個最小數，則有：\(f(i,j)=f(i-1,j)+(i-1)*f(i-1,j-1)\)，顯然這是第一類斯特林數

從而咱們獲得一個樸素的答案：\[Ans=\sum\limits_{i=1}^{n}f_{i,a-1}×f_{n-1-i,b-1}×C_{n-1}^i\]

理解：枚舉\(i+1\)爲最大值添的位置，則已限制了前綴最值個數及後綴最值個數，而後再乘上前半部分所填的數

觀察\(f_{i,a-1}×f_{n-1-i,b-1}\)，發現第一維和惟一：\[Ans=\begin{bmatrix}n-1\\a+b-2\end{bmatrix}C_{a+b-2}^{a-1}\]

可能會有點難理解：等同於分類成\(a+b-2\)個環，而環是不考慮順序的，因此咱們選擇不考慮打亂順序地選擇環

至此，咱們惟一須要的就是快速求出第一類斯特林數\(\begin{bmatrix}n-1\\a+b-2\end{bmatrix}\)

即便是單個數也沒法有特殊的公式快速得出，因此咱們用與求整行第一類斯特林數的方法求出

\(O(nlog^2n)\)的方法已經爛大街了，分治一下就行

\(O(nlogn)\)：因爲涉及到公式推倒，不是本題解的重點
移步淺談斯特林數與斯特林反演，內有詳細證實推倒及代碼

Code

#include<bits/stdc++.h>
typedef int LL;
const LL mod=998244353,g=3,_g=332748118,maxn=2e5+9;
inline LL Pow(LL base,LL b){
    LL ret(1);
    while(b){
        if(b&1) ret=1ll*ret*base%mod; base=1ll*base*base%mod; b>>=1;
    }return ret;
}
LL r[maxn],W[maxn];
inline LL Fir(LL n){
    LL limit(1),len(0),up(n<<1);
    while(limit<up){
        limit<<=1; ++len;
    }
    for(LL i=0;i<limit;++i) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<len-1);
    return limit;
}
inline void NTT(LL *a,LL n,LL type){
    for(LL i=0;i<n;++i) if(i<r[i]) std::swap(a[i],a[r[i]]);
    for(LL mid=1;mid<n;mid<<=1){
        LL wn(Pow(type?g:_g,(mod-1)/(mid<<1)));
        W[0]=1; for(LL i=1;i<mid;++i) W[i]=1ll*W[i-1]*wn%mod;
        for(LL R=mid<<1,j=0;j<n;j+=R)
            for(LL k=0;k<mid;++k){
                LL x(a[j+k]),y(1ll*W[k]*a[j+mid+k]%mod);
                a[j+k]=1ll*(x+y)%mod; a[j+mid+k]=1ll*(x-y+mod)%mod;
            }
    }
}
LL T[maxn],F[maxn],H[maxn],fac[maxn],fav[maxn],tmp[maxn],sum[maxn],B[maxn];
inline LL Mul(LL n,LL *a,LL *b,LL *ans){
    LL limit(Fir(n));
    NTT(a,limit,1); NTT(b,limit,1);
    for(LL i=0;i<limit;++i) ans[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod;
    NTT(ans,limit,0);
    for(LL i=((n-1)<<1)+1;i<limit;++i) a[i]=b[i]=0;
    return Pow(limit,mod-2);
}
inline void Solve(LL n,LL *a){
    if(!n){ a[0]=1; return; }
    if(n==1){ a[1]=1; return; }
    LL len(n/2);
    Solve(len,a);
    for(LL i=0;i<=len;++i){
        F[i]=1ll*Pow(len,i)*fav[i]%mod;
        H[i]=1ll*fac[i]*a[i]%mod;
    }
    std::reverse(H,H+len+1);
    
    LL limit(Fir(len+1));
    NTT(F,limit,1); NTT(H,limit,1);
    for(LL i=0;i<limit;++i) F[i]=1ll*F[i]*H[i]%mod;
    NTT(F,limit,0);
    LL ty(Pow(limit,mod-2));
    for(LL i=0;i<=len;++i) tmp[i]=1ll*F[len-i]*ty%mod*Pow(fac[i],mod-2)%mod;
    for(LL i=(len<<1);i<=limit;++i) F[i]=H[i]=0;
    
    LL val(Mul(len+1,a,tmp,B));
    for(LL i=0;i<=(len<<1);++i) a[i]=1ll*B[i]*val%mod;
    
    if(n&1)
        for(LL i=n;i>=1;--i) a[i]=1ll*(a[i-1]+1ll*(n-1)*a[i]%mod)%mod;
}
LL n,a,b,m;
LL ans[maxn];
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&a,&b);
    LL val;
    val=fac[0]=fac[1]=1;
    for(LL i=2;i<=n;++i) val=fac[i]=1ll*val*i%mod;
    val=fav[n]=Pow(fac[n],mod-2);
    for(LL i=n;i>=1;--i) val=fav[i-1]=1ll*val*i%mod;
    Solve(n-1,ans);
    
    n=a+b-2; m=a-1;
    printf("%d\n",1ll*ans[n]*fac[n]%mod*fav[m]%mod*fav[n-m]%mod%mod);
}