planning algorithms chapter 3

chapter 3 幾何表示和變換

P.S： 總算到了 motion planning 部分了

幾何建模

幾何建模主要有兩類方法：邊界表示法和實體表示法。
環境模型能夠是二維或三維，實體主要包括障礙物和機器人。

多邊形和多面體模型

凸邊形定義：子集 $ X \subset \mathbb{R}^{n} $ 爲凸集，當且僅當， X 中任意兩點連線上的全部點也屬於 X 。

邊界表示法能夠用多邊形表示，用一系列的邊界點\(\left ( x_{1}, y_{1} \right ),\left ( x_{2}, y_{2} \right ),\cdots ,\left ( x_{m}, y_{m} \right )\)表示。實體表示法能夠用半平面的交集表示。

半平面能夠表示以下：
\(H_{i} = \left \{ \left ( x,y \right )\in W| f_{i}\left ( x,y \right )\leqslant 0\right \}.\)

剛體變換

2D 變換

旋轉：

旋轉 + 移動：

3D 變換

yaw, pitch, roll：

旋轉變換：

反解旋轉角：

利用 atan2 能夠獲得：

均質變換矩陣(The homogeneous transformation matrix)：

剛體運動鏈的變化

相互依附的剛體的變化更加複雜，一系列依附的剛體被稱爲聯動，若是剛體經過單鏈關聯，這種聯動是運動鏈。

2D 運動鏈的均質變換：

3D 運動鏈的均質變換：
圖示：

均質變換矩陣：

均質變換矩陣的 DH 參數

非剛體變換

線性變換：
旋轉變換是一種特殊的線性變換。
同比例放大縮小：

剪切變換：

當 m12 = 1 時，剪切變換效果以下圖：