Convex hull凸包

把一個平面上給出的點都包含進去的最小凸多邊形。逆時針輸出凸包的各個頂點。

 

1.Graham掃描法 (O(n*logn))-------旋轉掃除的技術：

2.Jarvis march步進法(O(n*h))h爲凸包的頂點數--------打包的技術

應用：求二維平面最遠點對。

 

uva,109

  1 #include <iostream>
  2 #include <vector>
  3 #include <algorithm>
  4 
  5 using namespace std;
  6 
  7 struct node
  8 {
  9     double x,y;
 10     //便於求出初始點
 11     bool operator<(const node& a)const{
 12         return x<a.x || (x==a.x && y<a.y);
 13     }
 14 };
 15 
 16 
 17 typedef vector<node> Vnode;//凸包
 18 typedef vector<Vnode> VVnode;//凸包個數
 19 
 20 //叉積判斷是否向左轉。
 21 double Isleft(node& p0,node& p1,node& p2)
 22 {
 23     return (p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p2.x-p0.x)*(p1.y-p0.y);
 24 }
 25 
 26 //求凸包
 27 int Convex_hull(Vnode p,Vnode &h){
 28     int n=p.size();
 29     int k=0;
 30     //按x升序而後y升序排列
 31     sort(p.begin(),p.end());
 32     
 33     for(int i=0;i<n;i++){
 34 //上鍊
 35         while(k>=2 && Isleft(h[k-2],h[k-1],p[i])<=0)
 36             k--;
 37         h[k++]=p[i];
 38     }
 39     //下鏈
 40     for(int i=n-2,t=k+1;i>=0;i--){
 41         while(k>=t && Isleft(h[k-2],h[k-1],p[i])<=0)
 42             k--;
 43         h[k++]=p[i];
 44     }
 45     return k;
 46 }
 47 //檢查是否在凸多邊形內
 48 int check(Vnode h, node p) {
 49     int n = h.size();
 50     int i, j, c = 0;
 51     for (i = 0, j = n-1; i < n; j = i++)
 52         if ((((h[i].y <= p.y) && (p.y < h[j].y)) || ((h[j].y <= p.y) && (p.y < h[i].y))) && (p.x < (h[j].x - h[i].x) * (p.y - h[i].y) / (h[j].y - h[i].y) + h[i].x))
 53             c = !c;
 54     return c;
 55 }
 56 //根據題意求凸包面積
 57 double Area(Vnode p){
 58     int n=p.size();
 59     double s=0;
 60     
 61     for(int i=1;i<n;i++){
 62         s+=((p[i-1].x*p[i].y-p[i].x*p[i-1].y))/2;
 63     }
 64     return s;
 65 }
 66 
 67 
 68 int main()
 69 {
 70     int n;
 71     VVnode hull;
 72     
 73     while(cin>>n && n!=-1)
 74     {
 75         Vnode p(n);
 76         for(int i=0;i<n;i++)
 77             cin>>p[i].x>>p[i].y;
 78         
 79         Vnode h(n+1);
 80         n=Convex_hull(p,h);
 81         h.resize(n);
 82         hull.push_back(h);
 83     }
 84     
 85     node k;
 86     double a=0;
 87     while(cin>>k.x>>k.y){
 88         VVnode::iterator it;
 89         for(it=hull.begin();it<hull.end();it++)
 90         {
 91             if(check(*it,k))
 92             {
 93                 a+=Area(*it);
 94                 hull.erase(it);
 95                 break;
 96             }
 97         }
 98     }
 99 //輸出時帶兩位小數
100     cout.precision(2);
101 //fixed固定格式，floatfield表明以浮點數輸出
102     cout.setf(ios::fixed,ios::floatfield);
103     cout<<a<<endl;
104     
105     return 0;
106 }

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uva,10002

對於給定點對，求出凸包而後求其重心。

重心＝(每一個三角形重心＊有向面積）/總面積/3;

通常三角形以源點（0，0）爲起點比較方便。注意三角形重心 ((x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3)

因此求三角形重心用矢量加法／3則得重心。面積用叉積求／2.

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cmath>
 4 #include <algorithm>
 5 
 6 using namespace std;
 7 const int maxn=105;
 8 const double eps=1e-10;
 9 
10 struct node
11 {
12     double x,y;
13     node(){}
14     node(double x,double y):x(x),y(y){}
15     
16     bool operator<(const node& p)const{
17         return x<p.x || (x==p.x && y<p.y);
18     }
19     //定義函數簡單方便
20     node operator+(node p){
21         return node(x+p.x,y+p.y);
22     }
23     
24     node operator-(node p){
25         return node(x-p.x,y-p.y);
26     }
27     
28     node operator*(double d){
29         return node(x*d,y*d);
30     }
31     
32     node operator/(double d){
33         return node(x/d,y/d);
34     }
35     
36     double det(node p){
37         return x*p.y-y*p.x;
38     }
39 }ans[maxn],a[maxn];
40 
41 
42 int n,len;
43 
44 void Convex_hull()
45 {
46     sort(a,a+n);
47     len=0;
48     int i;
49     for(i=0;i<n;i++)
50     {
51         while(len>1 && (ans[len-1]-ans[len-2]).det(a[i]-ans[len-1])<=eps) len--;
52         ans[len++]=a[i];
53     }
54     
55     int tmp=len;
56     for(i=n-2;i>=0;--i){
57         while(len>tmp && (ans[len-1]-ans[len-2]).det(a[i]-ans[len-1])<=eps) len--;
58         ans[len++]=a[i];
59     }
60     --len;
61 }
62 //求多邊形面積
63 double Area()
64 {
65     double sum=0.0;
66     
67     for(int i=0;i<len;i++)
68         sum+=ans[i].det(ans[i+1]);
69     return sum/2.0;
70 }
71 //求重心
72 node masscenter()
73 {
74     node res=node(0,0);
75     double s=Area();
76     if(s<eps) return res;
77     
78     for(int i=0;i<len;i++)
79         res=res+(ans[i]+ans[i+1])*(ans[i].det(ans[i+1]));
80     return res/s/6.0;
81 }
82 
83 int main()
84 {
85     int i;
86     node res;
87     while(scanf("%d",&n) && n>=3){
88         for(i=0;i<n;i++) scanf("%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y);
89         
90         Convex_hull();
91         res=masscenter();
92         printf("%.3lf %.3lf\n",res.x,res.y);
93     }
94     return 0;
95 }

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10078

一開始是想的求點陣的凸包而後比較前後的點數，若是點減小則說明存在凹多邊形因此就yes了。

其實考慮欠周到，還要考慮點是否在凸包裏面＝ ＝，修正：由於可能他原來就是個凸的，可是有幾點共線了。

p1Xp2爲正數說明，p1在p2的順時針方向。不然在逆時針方向。二分查找到順時針方向的最近點，而後判斷是否在線段的左側就能夠了。附帶詳解：

  1 #include <iostream>
  2 #include <cstdio>
  3 #include <cmath>
  4 #include <algorithm>
  5 
  6 using namespace std;
  7 const int maxn=55;
  8 const double eps=1e-10;
  9 
 10 struct node
 11 {
 12     double x,y;
 13     node(){}
 14     node(double x,double y):x(x),y(y){}
 15     
 16     bool operator<(const node& p)const{
 17         return x<p.x || (x==p.x && y<p.y);
 18     }
 19     
 20     node operator+(node p){
 21         return node(x+p.x,y+p.y);
 22     }
 23     
 24     node operator-(node p){
 25         return node(x-p.x,y-p.y);
 26     }
 27     
 28     node operator*(double d){
 29         return node(x*d,y*d);
 30     }
 31     
 32     node operator/(double d){
 33         return node(x/d,y/d);
 34     }
 35     
 36     double det(node p){
 37         return x*p.y-y*p.x;
 38     }
 39 }ans[maxn],a[maxn];
 40 
 41 
 42 int n;
 43 
 44 int Convex_hull()
 45 {
 46     if(n<3) return n;
 47     sort(a,a+n);
 48     int len=0;
 49     int i;
 50     for(i=0;i<n;i++)
 51     {
 52         while(len>1 && (ans[len-1]-ans[len-2]).det(a[i]-ans[len-1])<=eps) len--;
 53         ans[len++]=a[i];
 54     }
 55     
 56     int tmp=len;
 57     for(i=n-2;i>=0;--i){
 58         while(len>tmp && (ans[len-1]-ans[len-2]).det(a[i]-ans[len-1])<=eps) len--;
 59         ans[len++]=a[i];
 60     }
 61     return --len;
 62 }
 63 
 64 double cross(node p0, node p1, node p2)
 65 {
 66     return (p1.x - p0.x) * (p2.y - p0.y) - (p2.x - p0.x) * (p1.y - p0.y);
 67 }
 68 //二分算法判斷是否在凸多邊形內。
 69 bool Compl_inside_convex(const node & p,node *con,int n)
 70 {
 71     if(n<3) return false;
 72     if(cross(con[0],p,con[1])>-eps) return false;
 73     if(cross(con[0],p,con[n-1])<eps) return false;
 74     
 75     int i=2,j=n-1;
 76     int line=-1;
 77     
 78     while(i<=j)
 79     {
 80         int mid=(i+j)>>1;
 81         if(cross(con[0],p,con[mid])>-eps)
 82         {
 83             line=mid;
 84             j=mid-1;
 85         }
 86         else i=mid+1;
 87     }
 88     return cross(con[line-1],p,con[line])<-eps;
 89 }
 90 
 91 int main()
 92 {
 93     int i;
 94     node res;
 95     while(scanf("%d",&n),n){
 96         for(i=0;i<n;i++) scanf("%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y);
 97         
 98         int count=Convex_hull();
 99         int flag=0;
100         for(int i=0;i<n;i++)
101 //若是在凸多邊形內則原多邊形爲凹多邊形。
102             if(count>2 && Compl_inside_convex(a[i],ans,count))
103             {
104                 flag=1;break;
105             }
106         if(flag) printf("Yes\n");
107         else printf("No\n");
108     }
109     return 0;
110 }

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 1 double cross(cpoint p0, cpoint p1, cpoint p2)
 2 {
 3     return (p1.x - p0.x) * (p2.y - p0.y) - (p2.x - p0.x) * (p1.y - p0.y);
 4 }
 5  
 6 bool Compl_inside_convex(const cpoint & p,cpoint *con,int n)
 7 {
 8     if(n<3) return false;
 9     if(cross(con[0],p,con[1])>-eps) return false;
10     if(cross(con[0],p,con[n-1])<eps) return false;
11  
12     int i=2,j=n-1;
13     int line=-1;
14  
15     while(i<=j)
16     {
17         int mid=(i+j)>>1;
18         if(cross(con[0],p,con[mid])>-eps)
19         {
20             line=mid;
21             j=mid-1;
22         }
23         else i=mid+1;
24     }
25     return cross(con[line-1],p,con[line])<-eps;
26 }

判斷一個點是否在凸多邊形類的二分算法

 

uva,681

注意精度問題，當二者相減的時候考慮極小的精度差，而後就是輸入輸出。。。見了你的鬼了。。

我一開始就光顧着把核心東西寫出來了。。後面提交了一次才發現仍是前面一道題目的條件。而後就wa了一下午。

 1 #include <iostream>
 2 #include <algorithm>
 3 #include <cmath>
 4 #include <cstdio>
 5 #include <vector>
 6 #include <cstdlib>
 7 #include <cstring>
 8 
 9 using namespace std;
10 #define eps 1e-10
11 
12 double add(double a,double b)
13 {
14     if(abs(a+b)<eps*(abs(a)+abs(b))) return 0;
15     return a+b;
16 }
17 
18 struct node
19 {
20     double x,y;
21     
22     node operator-(node p){
23         return node(add(x,-p.x),add(y,-p.y));
24     }
25     
26     double det(node p){
27         return add(x*p.y,-y*p.x);
28     }
29     
30     node(){}
31     node(double x,double y):x(x),y(y){}
32 };
33 
34 bool cmp(const node& a,const node& b)
35 {
36     if(fabs(a.y-b.y)>eps)
37         return a.y<b.y;
38     return a.x<b.x;
39 }
40 
41 vector<node> convex_hull(vector<node> ps,int n)
42 {
43     sort(ps.begin(),ps.end(),cmp);
44     
45     int k=0;
46     vector<node> qs(n*2);
47     
48     for(int i=0;i<n;i++){
49         while(k>1 && (qs[k-1]-qs[k-2]).det(ps[i]-qs[k-2])<=0) k--;
50         qs[k++]=ps[i];
51     }
52     
53     for(int i=n-2,t=k;i>=0;i--){
54         while(k>t && (qs[k-1]-qs[k-2]).det(ps[i]-qs[k-2])<=0) k--;
55         qs[k++]=ps[i];
56     }
57     qs.resize(k);
58     return qs;
59 }
60 
61 int main()
62 {
63     int tc;
64     int n;
65     
66     int x,y;
67     vector<node> p;
68     scanf("%d",&tc);
69         printf("%d\n",tc);
70         while(tc--)
71         {
72             p.clear();
73             scanf("%d",&n);
74             for(int i=0;i<n;i++)
75             {
76                 scanf("%d %d",&x,&y);
77                 p.push_back(node(x,y));
78             }
79             
80             if(tc) scanf("%d",&x);
81             
82             p=convex_hull(p,n);
83             
84             printf("%d\n",(int)p.size());
85             
86             for(int i=0;i<(int)p.size();i++)
87                 printf("%.0lf %.0lf\n",p[i].x,p[i].y);
88             
89             if(tc)
90                 printf("-1\n");
91             
92         }
93     return 0;
94 }

View Code