【計算幾何 02】凸包問題（Convex Hull）

引言

首先介紹下什麼是凸包？以下圖：

在一個二維座標系中，有若干點雜亂排列着，將最外層的點鏈接起來構成的凸多邊型，它能包含給定的全部的點，這個多邊形就是凸包。

實際上能夠理解爲用一個橡皮筋包含住全部給定點的形態。

凸包用最小的周長圍住了給定的全部點。若是一個凹多邊形圍住了全部的點，它的周長必定不是最小，以下圖。根據三角不等式，凸多邊形在周長上必定是最優的。

凸包的求法

尋找凸包的算法有不少種，經常使用的求法有 Graham 掃描法和 Andrew 算法

Graham Scan 算法求凸包

Graham Scan 算法是一種十分簡單高效的二維凸包算法，可以在 \(O(nlogn)\) 的時間內找到凸包。

Graham Scan 算法的作法是先肯定一個起點（通常是最左邊的點和最右邊的點），而後一個個點掃過去，若是新加入的點和以前已經找到的點所構成的 "殼" 凸性沒有變化，就繼續掃，不然就把已經找到的最後一個點刪去，再比較凸性，直到凸性不發生變化。分別掃描上下兩個 "殼"，合併在一塊兒，凸包就找到了。這麼說很抽象，咱們看圖來解釋：

先找 "下殼"，上下實際上是同樣的。首先加入兩個點 A 和 B。

而後插入第三個點 C，並計算 \(\overrightarrow{AB}×\overrightarrow{BC}\) 的向量積，卻發現向量積係數小於（等於）0，也就是說 \(\overrightarrow{BC}\) 在 \(\overrightarrow{AB}\) 的順時針方向上。

因而刪去 B 點。

按照這樣的方法依次掃描，找完 "下殼" 後，再找 "上殼"。

關於掃描的順序，有座標序和極角序兩種，本文采用前者。座標序是比較兩個點的 x 座標，小的先被掃描（掃描上凸殼的時候反過來），若是兩個點 x 座標相同，那麼就比較 y 座標，一樣的也是小的先被掃描（掃描上凸殼的時候也是反過來）。極角序使用 atan2 函數的返回值進行比較，讀者能夠本身嘗試寫下。

下面貼下代碼：Graham Scan 算法

struct Point
{
    double x, y;

    Point operator-(Point & p)
    {
        Point t;
        t.x = x - p.x;
        t.y = y - p.y;
        return t;
    }

    double cross(Point p) // 向量叉積
    {
        return x * p.y - p.x * y;
    }
};

bool cmp(Point & p1, Point & p2)
{
    if (p1.x != p2.x)
        return p1.x < p2.x;

    return p1.y < p2.y;
}

Point point[1005];  // 無序點
int   convex[1005]; // 保存組成凸包的點的下標
int   n;            // 座標系的無序點的個數

int GetConvexHull()
{
    sort(point, point + n, cmp);
    int temp;
    int total = 0;

    for (int i = 0; i < n; i++) // 下凸包
    {
        while (total > 1 && 
              (point[convex[total - 1]] - point[convex[total - 2]]).cross(point[i] - point[convex[total - 1]]) <= 0)
            total--;

        convex[total++] = i;
    }

    temp = total;

    for (int i = n - 2; i >= 0; i--) // 上凸包
    {
        while (total > temp && 
              (point[convex[total - 1]] - point[convex[total - 2]]).cross(point[i] - point[convex[total - 1]]) <= 0)
            total--;

        convex[total++] = i;
    }

    return total - 1; // 返回組成凸包的點的個數，實際上多了一個，就是起點，因此組成凸包的點個數是 total - 1
}

Andrew 算法求凸包

首先把全部點以橫座標爲第一關鍵字，縱座標爲第二關鍵字排序。

顯然排序後最小的元素和最大的元素必定在凸包上。並且由於是凸多邊形，咱們若是從一個點出發逆時針走，軌跡老是「左拐」的，一旦出現右拐，就說明這一段不在凸包上。所以咱們能夠用一個單調棧來維護上下凸殼。

由於從左向右看，上下凸殼所旋轉的方向不一樣，爲了讓單調棧起做用，咱們首先 升序枚舉 求出下凸殼，而後 降序 求出上凸殼。

求凸殼時，一旦發現即將進棧的點（ \(P\) ）和棧頂的兩個點（ \(S_1,S_2\) ，其中 \(S_1\) 爲棧頂）行進的方向向右旋轉，即叉積小於 \(0\) ： \(\overrightarrow{S_2S_1}\times \overrightarrow{S_1P}<0\) ，則彈出棧頂，回到上一步，繼續檢測，直到 \(\overrightarrow{S_2S_1}\times \overrightarrow{S_1P}\ge 0\) 或者棧內僅剩一個元素爲止。

一般狀況下不須要保留位於凸包邊上的點，所以上面一段中 \(\overrightarrow{S_2S_1}\times \overrightarrow{S_1P}<0\) 這個條件中的「 \(<\) 」能夠視狀況改成 \(\le\) ，同時後面一個條件應改成 \(>\) 。

代碼實現

// stk[]是整型，存的是下標
// p[]存儲向量或點
tp = 0;                       //初始化棧
std::sort(p + 1, p + 1 + n);  //對點進行排序
stk[++tp] = 1;
//棧內添加第一個元素，且不更新used，使得1在最後封閉凸包時也對單調棧更新
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
  while (tp >= 2  //下一行*被重載爲叉積
         && (p[stk[tp]] - p[stk[tp - 1]]) * (p[i] - p[stk[tp]]) <= 0)
    used[stk[tp--]] = 0;
  used[i] = 1;  // used表示在凸殼上
  stk[++tp] = i;
}
int tmp = tp;  // tmp表示下凸殼大小
for (int i = n - 1; i > 0; --i)
  if (!used[i]) {
    //      ↓求上凸殼時不影響下凸殼
    while (tp > tmp && (p[stk[tp]] - p[stk[tp - 1]]) * (p[i] - p[stk[tp]]) <= 0)
      used[stk[tp--]] = 0;
    used[i] = 1;
    stk[++tp] = i;
  }
for (int i = 1; i <= tp; ++i)  //複製到新數組中去
  h[i] = p[stk[i]];
int ans = tp - 1;

根據上面的代碼，最後凸包上有 \(ans\) 個元素（額外存儲了 \(1\) 號點，所以 \(h\) 數組中有 \(ans+1\) 個元素），而且按逆時針方向排序。周長就是

\[\sum_{i=1}^{ans}\left|\overrightarrow{h_ih_{i+1}}\right| \]

參考

• Graham Scan 凸包算法
• Andrew 凸包算法