【2020.12.01提升組模擬】卡特蘭數(catalan)

題目

題目描述

今天，接觸信息學不久的小\(A\)剛剛學習了卡特蘭數。

卡特蘭數的一個經典定義是，將\(n\)個數依次入棧，合法的出棧序列個數。

小\(A\)以爲這樣的狀況太平凡了。因而，他給出了\(m\)組限制，每一個限制形如\((f_i,g_i)\)，表示\(f_i\)不能在\(g_i\)以後出棧。
他想求出：在知足了這\(m\)組限制的前提下，共有多少個合法的出棧序列。他不喜歡大數，你只須要求出答案在模\(998244353\)意義下的值便可。

輸入格式

輸入第一行爲兩個非負整數，\(n\)、\(m\)，含義題面已給出。
接下來\(m\)行，每行兩個正整數，\((f,g)\) 表示一組限制。

輸出格式

輸出一行，爲一個非負整數，表示你求得的答案 \(mod\space 998244353\)。

樣例輸入

3 1
2 3

樣例輸出

3

樣例解釋
能夠驗證\(\{1,2,3\}\)，\(\{2,1,3\}\)，\(\{2,3,1\}\)都是合乎條件的。

數據規模

\(編號\)	\(分值\)	\(n\)	\(m\)	\(特殊性質\)
\(1\)	\(15\)	\(\le 300\)	\(= 0\)
\(2\)	\(15\)	\(\le 7\)	\(\le 10\)
\(3\)	\(15\)	\(\le 100\)	\(\le 50\)
\(4\)	\(15\)	\(\le 300\)		\(保證全部的f_i相同\)
\(5\)	\(20\)	\(\le 300\)	\(\le 300\)
\(6\)	\(20\)	\(\le 300\)

對於所有的數據，保證\(n\le 300\)，\(m\le \frac{n(n-1)}{2}\)，\(f_i、g_i \le n\)。

題解

題目大意：\(n\)個數以此入棧，問在知足\(m\)個形如\(f_i\)不能在\(g_i\)後出棧的限制的出棧序列數

45%

咱們知道卡特蘭數有個推導公式是\(f_i=\sum_{i=1}^nf_i\times f_{n-i-1}\),這個公式其實是枚舉了最後出棧的數

那麼擴展到這題，咱們將\(dp\)轉換爲區間\(dp\)，枚舉\(k\)爲最後出棧的數，那麼有兩種狀況不合法：\(f=k\)或者\(f>k>g\)。當\(f=k\)的時候，\(f\)是最後出棧的，顯然不合法。而咱們知道，小於\(k\)老是比大於\(k\)的先出棧，因此當\(f>k>g\)時也是不合法的

設\(f[i][j]\)表示\(i\)到\(j\)這個區間的合法出棧序列，那麼在上述兩種不合法的狀況不成立的狀況下，\(f[i][j]+=f[i][k-1]\times f[k+1][j]\)

時間複雜度\(O(n^3m)\)，預計得分\(45\)

100%

考慮優化\(dp\)，在\(O(1)\)的時間內判斷合不合法。不合法條件\(f>k>g\)成立，說明\(f>g\)，那麼在讀入時\(f>g\)的放入平面直角座標系中，座標\((f,g)\)，那麼能夠前綴和優化

記錄前綴和\(sm[i][j]\)和\(l[i][j]\)，分別記錄\(f>g\)以及全部的點，用來判斷\(f>k>g\)和\(f=k\)的狀況

構造一個矩形

其中\(i,j,k\)分別是區間起點，終點，以及最後出棧的數

\(f=k\)說明\(l[k][j]-l[k][i-1]>0\)，而若是矩形\(sm(i,i,j,k-1)-sm(i,i,k,j)>0\)，說明有\(f>k>g\)的狀況，這兩種狀況都是不合法的

這樣的話時間複雜度優化到了\(O(n^3)\)，預計得分\(100\)

Code

#include<cstdio>
#define mod 998244353
#define N 310
#define ll long long
using namespace std;
ll n,m,f[N][N],sm[N][N],al[N][N];
ll get(ll x,ll y,ll p,ll q) {return sm[x][y]-sm[x][q-1]-sm[p-1][y]+sm[p-1][q-1];}
int main()
{
	freopen("catalan.in","r",stdin);
	freopen("catalan.out","w",stdout);
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for (ll i=1,x,y;i<=m;++i)
	{
		scanf("%lld%lld",&x,&y);
		if (x!=y)
		{
			if (x>y) ++sm[x][y];
			++al[x][y];
		}
	}
	for (ll i=1;i<=n;++i)
		for (ll j=1;j<=n;++j)
		{
			sm[i][j]=sm[i][j]+sm[i-1][j]+sm[i][j-1]-sm[i-1][j-1];
			al[i][j]=al[i][j]+al[i][j-1];
		}
	for (ll i=1;i<=n;++i)
		f[i][i]=f[i+1][i]=f[i][i-1]=1;
	for (ll len=2;len<=n;++len)
		for (ll i=1;i+len-1<=n;++i)
		{
			ll j=i+len-1;
			for (ll k=i;k<=j;++k)
			{
				ll x;
				if (k>i) x=get(j,k-1,i,i)-get(k,j,i,i);
				else x=0;
				ll y=al[k][j]-al[k][i-1];
				if (x<=0&&y<=0) f[i][j]=(f[i][j]+f[i][k-1]*f[k+1][j]%mod)%mod;
			}
		}
	printf("%lld\n",f[1][n]);
	fclose(stdin);
	fclose(stdout);
	return 0;
}