動態規劃法解矩陣鏈乘問題

     [問題]給定一個包含n個矩陣的鏈乘式，經過對矩陣加括號來變換矩陣相乘的次序。問應當怎樣加括號才能使求解過程當中乘法運算的總次數最少？最少的總次數是多少？

     [解析]假設矩陣鏈乘式A₁A₂A₃A₄A₅的最優解爲((A₁)(A₂A₃))(A₄A₅) ，則(A₁)(A₂A₃)必爲鏈乘式A₁A₂A₃的最優解(由反證法易得)。由此可知，該問題具備最優子結構性質。遞推式以下；

     設鏈乘式A_iA_i+1A_i+2……A_j中矩陣A_n的列數爲Columns[n],其劃分的形式爲 

(A_i……A_k)(A_k+1……A_j），則相應的乘法運算的總次數爲，對左括號進行計算求得矩陣A_Left的過程當中的最少總次數f(i)(k)，加上對右括號進行計算求得矩陣A_Right的過程當中的最少總次數f(k+1)(j)，再加上Columns[i-1] × Columns[k]的矩陣A_Left與Columns[k] × Columns[j]的矩陣A_Right 相乘時乘法運算的總次數Columns[i-1] * Columns[k] * Columns[j]。因此鏈乘式A_iA_i+1A_i+2……A_j的最優解的值f(i)(j)就是k的取值從i一直取到j的過程當中所得的最小的總次數，即

     f(i)(j) = Min{f(i)(k) + f(k+1)(j) + Columns[i-1] * Columns[k] * Columns[j]}，i≤k<j