iOS數據結構與算法實戰 Binary Trees 上

來源

公衆號：人魔七七

Github：github.com/renmoqiqi/1…

一張圖來描述Binary Tree

二叉樹的節點最大分支度是2，也說明每一個節點最多擁有2個子節點，範圍是[0-2]。

Binary Tree的幾個常見類型

• A degenerate (or pathological) tree。（樹的每一個節點只有一個子節點或者是右孩子或者是左孩子，這時候這個樹就和鏈表性能差很少了。）

• Full Binary Tree （樹的任何一個節點都有0或者2個孩子節點。或者這樣定義樹的任何一個非葉子節點都有兩個孩子節點）

• Complete Binary Tree（可能除了樹的最後一層其它層級的每一個節點都有左右孩子節點，最後一層要麼是滿的要麼節點都靠左邊）

  

  

• Perfect Binary Tree （它是一個這樣的二叉樹，他全部的非葉子節點都有左右子節點，而且全部的葉子節點都在同一層級）

和Binary Tree有關的一些公式

• 節點數和二叉樹樹Height的關係，假如h是樹的Height，n是樹節點個數。那麼Min Nodes(n = h+1),Max Nodes(2^h+1-1)。看下圖例子，很容易推導出Min Nodes(n = h+1)。

  

  

下面咱們推導下Max Nodes。上圖第三種狀況h = 3，Max Nodes = 1 +2 + 2²+ 2³ = 15，也就是Max Nodes = 1 +2 + 2²+ 2³ + ....+ 2^h= ,也就是等比數列求和，以下圖：

代入求和 Max Nodes = 1 +2 + 2 ²+ 2 ³ + ....+ 2 ^h=2 ^h+1-1

等比數列求和能夠參考以下連接： zh.wikipedia.org/wiki/等比數列

反過來能夠很容易推導出Min Height (h = Log₂(n+1)-1),Max Height(h = n-1)。

• 若是是full binary tree那麼節點數和樹Height的關係又是什麼呢？ 推導過程能夠參考上面的步驟，Min Nodes(n = 2h+1),Max Nodes(2^h+1-1)，反過來能夠很容易推導出Min Height (h = Log₂(n+1)-1),Max Height(h = )。

• 第i層至多擁有2^i-1個節點，最少有1個節點。從下圖能夠很容易看出來，

  

• 度爲0的節點數n1和度爲2節點數n2的關係。n1 = n2 + 1。看下圖

  

二叉樹的存儲方式

• Array Representation
• Linked Representation

Array Representation

二叉樹能夠被以廣度優先的順序做爲隱式數據結構存儲在數組中。注意的是若是這個二叉樹是complete binary tree，這些不會浪費空間，可是若是對於A degenerate (or pathological) tree這種高度很大的樹就很浪費空間，能夠參考後面根據這個存儲方式判斷這個樹是否是complete binary tree的介紹。這種存儲方法一般也用在binary heaps。

舉例：找E的父節點，E的索引是5，那麼Parent = i/2 = 5/2 = 2.5,向下取整就是2，對應的就是B。反之假如找A的左右孩子，A的索引是1，那麼左孩子索引就是2對應B，右孩子索引就是3對應C。

注意：Parent的索引若是有存在小數狀況是向下取整。

下面咱們看怎麼根據這個表示方法判斷是否是complete binary tree。

上三個圖中1，2元素之間沒有空白的空間是complete binary tree，圖3元素之間有空白的空間說明不是complete binary tree。

Linked Representation

@interface DSTreeNode : NSObject

@property (nonatomic, strong) NSObject   *object;
@property (nonatomic, strong) DSTreeNode *leftChild;
@property (nonatomic, strong) DSTreeNode *rightChild;
@property (nonatomic, strong) DSTreeNode *parent;
@property (nonatomic, assign) SEL         compareSelector;


- (void)printDescription;
//是不是左仍是結點
- (BOOL)isLeftChildOfParent;


@end
複製代碼

這種存儲二叉樹方法浪費了很多內存,因爲那些節點的左右指針（爲null或者指向某些節點）。