[LeetCode] 878. Nth Magical Number 第N個神奇數字

A positive integer is magical if it is divisible by either A or B.

Return the N-th magical number.  Since the answer may be very large, return it modulo 10^9 + 7.

Example 1:

Input: N = 1, A = 2, B = 3
Output: 2

Example 2:

Input: N = 4, A = 2, B = 3
Output: 6

Example 3:

Input: N = 5, A = 2, B = 4
Output: 10

Example 4:

Input: N = 3, A = 6, B = 4
Output: 8

Note:

1. 1 <= N <= 10^9
2. 2 <= A <= 40000
3. 2 <= B <= 40000

這道題定義了一種神奇正整數，就是能同時被給定的正整數A或B整除的數，讓咱們返回第N個神奇的數字，暗示了這個數字可能很大，要對一個超大數取餘。又是對這個 1e9+7 取餘，博主下意識的反應是用動態規劃 Dynamic Programming 來作，但實際上是不能的，由於每一個數字能不能被A或B整除是相對獨立的，並不會跟以前的狀態有聯繫，這樣就很差寫出狀態轉移方程了，因此這並非一道 DP 題。首先來想，對於 [1, n] 中的數，能整除A的有多少個，舉例來講吧，假如 n=17，A=2，那麼 17 之內能整除2的就有 2，4，6，8，10，12，14，16，這八個數字，貌似正好是 n/A=17/2=8。再來看其餘例子，好比 n=17，B=3，那麼 17 之內能整除3的就有 3，6，9，12，15，這五個數字，貌似也是 n/B=17/3=5。那麼能被A或B整除的個數呢，好比 n=17，A=2，B=3，那麼 17 之內能整除2或3的數字有 2，3，4，6，8，9，10，12，14，15，16，這十一個數字，並非 n/A + n/B = 8+5 = 13，爲啥呢？由於有些數字重複計算了，好比 6，12，這兩個數字都加了兩次，咱們發現這兩個數字都是既能夠整除A又能夠整除B的，只要把這兩個數字減去 13-2=11，就是所求的了。怎麼找同時能被A和B整除的數呢，其實第一個這樣的數就是A和B的最小公倍數 Least Common Multiple，全部能被A和B的最小公倍數整除的數字必定能同時整除A和B。那麼最小公倍數 LCM 怎麼算呢？這應該是小學數學的知識了吧，就是A乘以B除以最大公約數 Greatest Common Divisor，這個最大公約數就不用多說了吧，也是小學的內容，是最大的能同時整除A和B的數。

明白了這些，咱們就知道了對於任意小於等於數字x的且能被A或B整除的正整數的個數爲 x/A + x/B - x/lcm(A,B)。因此咱們須要讓這個式子等於N，而後解出x的值即爲所求。直接根據式子去求解x獲得的不必定是正整數，咱們能夠反其道而行之，帶肯定的x值進入等式，算出一個結果，而後跟N比較大小，根據這個大小來決定新的要驗證的x值，這不就是典型的二分搜索法麼。肯定了要使用 Binary Search 後，就要來肯定x值的範圍了，x值最小能取到A和B中的較小值，因爲A和B最小能取到2，因此x的最小值也就是2。至於最大值，仍是根據上面的等式，x能取到的最大值是 N*min(A,B)，根據題目中N和A，B的範圍，能夠推出最大值不會超過 1e14，這個已經超過整型最大值了，因此咱們初始化的變量都要用長整型。而後就是進入 while 循環了，斷定條件是上面寫的那個等式，其實這是博主以前的總結帖 LeetCode Binary Search Summary 二分搜索法小結 中的第四類，用子函數看成判斷關係，不是簡單的用 mid 來判斷，而是要經過 mid 來計算出須要比較的值。若計算值比N小，則去右半段，反之左半段，最後別忘了對M取餘便可，參見代碼以下：

解法一：

class Solution {
public:
    int nthMagicalNumber(int N, int A, int B) {
        long lcm = A * B / gcd(A, B), left = 2, right = 1e14, M = 1e9 + 7;
        while (left < right) {
            long mid = left + (right - left) / 2;
            if (mid / A + mid / B - mid / lcm < N) left = mid + 1;
            else right = mid;
        }
        return right % M;
    }
    int gcd(int a, int b) {
        return (b == 0) ? a : gcd(b, a % b);
    }
};

下面這種方法就比較 tricky 了，徹底是利用數學功底來解的，連二分搜索都不用，常數級的時間複雜度，碉堡了有木有？！這裏主要是參考了大神 jianwu 的帖子，博主也不能說是徹底理解透徹了，嘗試着去講解一下吧。咱們用這個例子來說解吧 A=3，B=5，N=10，前面的分析提到了，只有在A和B的最小公倍數 LCM 處，或者是能除以這個 LCM 的數字的地方，纔會出現重複。3和5的最小公倍數是 15，因此對於全部小於15的數字x，能整除A的數字有 x/A 個，能整除B的數字有 x/B 個，若把每個 LCM 看做一個 block 的話，這個區間內分別能整除A和B的數字是沒有重複的，因此這個區間的長度是 len = lcm/A + lcm/B - 1 = 15/3 + 15/5 - 1 = 7。下面要算的就是N裏面有多少個 block，而且餘數是多少，由於咱們能夠經過 LCM 快速來定位 block 的邊界位置，只要知道了偏移量，就能求出正確的神奇數字了。block 的個數是經過 N/len = 10/7 = 1，餘數是經過 N%len = 10%7 = 3 計算的。咱們能夠經過 block 的個數和長度快速定位到 15，這裏是不能直接加上餘數3的，由於餘數表示的是 15 後面的第三個能被3或5整除的數，18，20，21，因此答案是 21，這裏咱們須要算出這個偏移量 21-15=6，從而才能獲得正確結果。怎麼計算呢？想一下，15 後面第三個能被3整除的數是 18，21，24，因此只看3的話偏移量是 3/(1.0/3)=9，而 15 後面第三個能被5整除的數是 20，25，30，偏移量是 3/(1.0/5)=15，可是正確的偏移量應該是考慮兩種狀況的總和，因此應該是 nearest=3/(1.0/3 + 1.0/5)=5.625，但咱們的偏移量必定要是個整數，因此咱們再用一個取整的過程 min(ceil(nearest/3) x 3, ceil(nearest/5) x 5) = 6，最終就能夠獲得正確的偏移量，加上 15，就是正確的結果了，參見代碼以下：

解法二：

class Solution {
public:
    int nthMagicalNumber(int N, int A, int B) {
        long lcm = A * B / gcd(A, B), M = 1e9 + 7;
        long len = lcm / A + lcm / B - 1, cnt = N / len, rem = N % len;
        double nearest = rem / (1.0 / A + 1.0 / B);
        int remIdx = min(ceil(nearest / A) * A, ceil(nearest / B) * B);
        return (cnt * lcm + remIdx) % M;
    }
    int gcd(int a, int b) {
        return (b == 0) ? a : gcd(b, a % b);
    }
};

Github 同步地址:

https://github.com/grandyang/leetcode/issues/878

參考資料：

https://leetcode.com/problems/nth-magical-number/

https://leetcode.com/problems/nth-magical-number/discuss/154613/C%2B%2BJavaPython-Binary-Search

https://leetcode.com/problems/nth-magical-number/discuss/154965/o(1)-Mathematical-Solution-without-binary-or-brute-force-search

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