中國剩餘定理(CRT)

中國剩餘定理，是用來求形以下面這樣的同餘方程組的 最小正整數解 的：

\[\left\{ \begin{array}{ll} x \equiv a_1 \pmod{m_1} \\ x \equiv a_2 \pmod{m_2} \\ \cdots \\ x \equiv a_n \pmod{m_n} \\ \end{array} \right. \]

其中，\(m_1,m_2,\cdots,m_n\) 兩兩互質。

出處

這玩意本來出自《孫子算經》卷下第二十六題：「有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。問物幾何？」

解法

咱們設

\[M = \prod\limits_{i=1}^n m_i,M_i = \frac{M}{m_i} \]

而後，設 \(t_i\) 是 \(M_i\) 在模 \(m_i\) 意義下的逆元，即 \(M_i t_i \equiv 1 \pmod{m_i}\)。
對於上面的 \(i\)，\(1 \le i \le n\)。
而後，咱們就能夠構造出任意解

\[x_0 = \sum\limits_{i=1}^n a_i M_i t_i \]

最小正整數解就是

\[x_{min} = x_0 \bmod M \]

證實

這玩意的證實其實挺簡單的……
首先，對於任意一個 \(j\)(\(1 \le j \le n\) 且 \(j \not= i\))

\[a_j M_j t_j \equiv 0 \pmod{m_i} \]

這是顯然的，由於\(m_i\) 是 \(M_j\) 的因數。
而後，有

\[a_i M_i t_i \equiv a_i \pmod{m_i} \]

這也很明顯……由於 \(M_i t_i \equiv 1 \pmod(m_i)\) 嘛。
因而，咱們把全部的 \(a_i M_i t_i\) 加起來，也就是 \(x_0\)，再結合上面的兩個結論，就能夠獲得

\[x_0 \equiv a_i \pmod{m_i} \]

符合題意。