Bresenham算法理解

時間 2020-04-20

標籤 bresenham 算法理解简体版

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Bresenham

聲明：本博客做者與此博客https://blog.csdn.net/cjw_soledad/article/details/78886117相同，因「博客搬家」功能效果很差，不得不從新發布算法

bresenham算法是計算機圖形學中爲了「顯示器（屏幕或打印機）系由像素構成」的這個特性而設計出來的算法，使得在求直線各點的過程當中所有以整數來運算，於是大幅度提高計算速度。spa

實現代碼

這篇文章主要對下面的代碼進行解釋，若是可以理解下面的代碼，徹底能夠跳過這篇文章。.net

// 來源:https://rosettacode.org/wiki/Bitmap/Bresenham%27s_line_algorithm#C

void line(int x0, int y0, int x1, int y1) {
 
  int dx = abs(x1-x0), sx = x0<x1 ? 1 : -1;
  int dy = abs(y1-y0), sy = y0<y1 ? 1 : -1; 
  int err = (dx>dy ? dx : -dy)/2, e2;
 
  for(;;){
    setPixel(x0,y0);
    if (x0==x1 && y0==y1) break;
    e2 = err;
    if (e2 >-dx) { err -= dy; x0 += sx; }
    if (e2 < dy) { err += dx; y0 += sy; }
  }
}

直線方程

衆所周知，最基本的斜截式直線方程爲\(y=kx+b(k爲斜率, b爲截距)\)。這個方程存在的缺點是沒法表示直線\(x=\alpha\)，因此用一個新的方程來代替\(Ax+By+C=0\)。設計

Bresenham

Bresenham畫直線的算法主要步驟是判斷下一點的位置。維基百科中有一張圖比較形象

圖中，每個點表明的是一個像素，假定咱們有直線\(f(x,y)\)且當前座標爲\((x,y)\)，判斷下一個點的y軸座標步驟爲（若是要肯定x軸座標也相似）：
code

代碼理解

如上面所述，咱們如今可以判斷直線的下一個像素點在那裏了，可是Bresenham算法的優勢尚未體現：咱們還須要計算浮點數。爲了不浮點數計算，咱們要更深刻地發現劃線的規律。blog

這裏咱們只考慮 \(x_1<x_2\) 而且\(y_1<y_2\)的狀況，實際上咱們也只須要考慮這種狀況，正如前面代碼所寫的sx, sy，經過這兩個變量咱們便能控制要畫的直線方向是正確的。博客

Bresenham的輸入爲兩個點\((x_1, y_1), (x_2,y_2)\)。根據這兩個點，咱們可以計算出兩點之間的「距離「。這裏的距離用的是絕對值，對應的是代碼裏的dx, dy。

\[\Delta x=|x_1-x_2|\\ \Delta y=|y_1-y_2| \]

根據斜截式\(y=kx+b\)，咱們有\(y=\frac{\Delta y}{\Delta x}x+b\)，進而有it

\[\Delta y x-\Delta x y+C = 0 \]

在這條公式中：class

\[x+1 \Rightarrow y+\frac{\Delta y}{\Delta x} \\ y+1 \Rightarrow x +\frac{\Delta x}{\Delta y} \]

實際上，用於判斷下一個點的位置的就是\(\frac{\Delta y}{\Delta x}\)和\(\frac{\Delta x}{\Delta y}\)。這兩個值變化的根本目的是使上面的方程成立，根據這一點，咱們直接引入一個變量\(err\)避免浮點數運算（對應代碼中的err和e2）

\[\Delta y x-\Delta x y+C +err= 0 \\ x+1 \Rightarrow err-\Delta y \\ y+1 \Rightarrow err+\Delta x \]

如今咱們已經可以將 \(err\) 和 \(x, y\) 聯繫起來，可是還有一個很重要的問題沒有解決：判斷增長x軸座標仍是增長y軸座標
首先假設咱們在起始座標\((x,y)\)，當前的\(err\)也是正確的，如今須要判斷下一個點的座標。
根據傳統的Bresenham算法：

\[(x+\frac{\Delta x}{\Delta y})-(x+1)>0 \Rightarrow \Delta x-\Delta y>0 \Rightarrow x+1\\ (y+\frac{\Delta y}{\Delta x})-(y+1)>0 \Rightarrow \Delta y-\Delta x>0\Rightarrow y+1 \]

咱們更關注中間的部分，結合上一點所說的\(err\)和\(\Delta x,\Delta y\)的關係對其進行變形變量

\[ \Delta x-\Delta y>0 \Rightarrow -\Delta y>-\Delta x\\ \Delta y-\Delta x>0\Rightarrow +\Delta x < \Delta y \]

從上面的公式看來彷佛是與\(err\)有點關係了，可是還不明確，那是由於咱們的推到基於起始點，假若基於的不是起始點，那麼該公式應當爲

\[ \Delta x-\Delta y>0 \Rightarrow \varepsilon -\Delta y>-\Delta x\\ \Delta y-\Delta x>0\Rightarrow \varepsilon+\Delta x < \Delta y \]

\(\varepsilon\)爲一個累加值，其來源與當前點\((x,y)\)和起始點\((x_0,y_0)\)的相對位置有關，我的理解是：每一次\(x+1\)或\(y+1\)都會讓原來的直線平移，這個平移便會形成偏差，而這個偏差會隨着程序的進行而不斷累加，而這個累加值對應的正是\(err\)

如今咱們就有能力將\(err\)和程序中的err聯繫起來了。
if後的條件與上面的公式對應，而err與\(\varepsilon\)不一樣。不一樣之處是：err是已經計算好的\(\varepsilon-\Delta y\)和\(\varepsilon+\Delta x\)。咱們能夠這樣思考：在某一個點\((x,y)\)處，咱們已經計算獲得了正確的、能夠用於判斷的\(err\)，當咱們選擇下一個點時，咱們能夠順便把下一個點的\(err\)給計算了，這就是代碼中err -= dy; err += dx;蘊含的意思。

if (e2 >-dx) { err -= dy; x0 += sx; }
if (e2 < dy) { err += dx; y0 += sy; }

關於err的初始化 Updated in 2020

咱們注意到代碼中對err進行了初始化。在前面咱們的推導忽略了一個部分：起始點\((x_1,y_1)\)的\(err\)。從公式\(Ax+By+C+err=0\)上看，起始點的\(err\)應當爲\(0\)纔對，可是代碼中用了一個奇怪的值進行了初始化。看起來兩者是矛盾的，可是err的初始化其實是另外一個小技巧。