《具體數學》1.1遞歸(一)

《具體數學》經過三個例子來說遞歸,分別是:Hanoi Tower(漢諾塔)、Lines in the Plane(平行中的直線)、Josephus Circle(約瑟夫環問題)

這三個例子一直被數學家們反覆研究；已知解法都使用遞歸，大問題化爲小問題；均可以用計算機程序來求解；
我最近由於考試忙的其實也沒看幾頁，就先把看的寫出來吧;

1.1 漢諾塔

首先來看被稱爲「漢諾塔」（Hanoi Tower）的智力問題。該問題是法國數學家Edouard Lucas在1883年提出的。給定一個由八個大小不一樣的圓盤組成的塔，最初圓盤按尺寸遞減的次序自底而上地堆放到三根杆中的一根上。相似的問題是婆羅門 塔（64個盤子，一直挪到世界末日……，後面咱們有相關的分析）

目標：把整個塔從一根杆移到另外一根杆上。
規則：
（1）One time, one disk;
（2）No larger disks on smaller ones, Anytime.
直觀上很難看出這個問題的解法，可是咱們之前在C語言的遞歸部分已經遇到過，能夠確信它有一個解.(結尾會給出c語言的代碼片斷)

書上寫的解法其實已經很清楚了，目的是讓咱們求Tn是在Lucas規則下n個盤從一根杆移到另外一根杆的最小移動次數，當n=1時顯然 T1=1,T2=3,這些都是小的問題，咱們也能夠經過小的問題去考慮大的，咱們如何能轉移一個大的塔？3個盤的實驗代表要想獲勝就是把頂上的2個移到中 間，而後移第3個盤，再把另外的2個盤放上去，再擴展到n個盤通常移動的思路：首先把n-1個最小的盤轉移到一個不一樣的杆(Tn-1次移動),而後移動最 大的盤(一次移動),最後再把n-1個最小盤上的轉移回最大的盤上(Tn-1次移動),因此，至多用2Tn-1+1次移動能轉移n個盤(n>0)

Tn<=2Tn-1+1(n>0)

注意紅色的部分,此公式用了'<='而不是'=',這本書真的是很嚴謹啊，因 爲咱們的構造僅證實2Tn-1+1次移動是充分的,並未證實2Tn-1+1次移動是必要的。其實，沒有很好的方法去證實它是必要的.在某個時刻咱們必定要 移動最大的盤，當咱們移動最大盤時，n-1個最小的盤必定在一根杆上，且至少用Tn-1次移動把它們放到那裏，咱們假如不注意，則移動最大盤等等次數可能 大於一次。但最後一次移動最大盤以後，咱們必定要把n-1個最小盤轉移回最大盤上，還要Tn-1次移動。所以Tn>=2Tn-1+1(n>0)

因此漢諾塔遞歸公式爲:

T0=0

Tn=2Tn-1+1(n>0)

它給定一個邊界值以及根據較早值表達通常值一個方程。咱們有時把這個通常方程單獨稱爲一個遞歸，但其實仍是要一個邊界值。

怎麼去理解 遞歸呢，先去猜想一個正確的解，而後由這個解推出通解，找出規律，最後去證實規律的廣泛性，數學概括法是證實某個命題關於（對全部n>=n0)成立 的一種通常方法，其實數學概括法完美爲遞歸做了準備。書上有一段是真的很重要的，在各類應用提出的許多問題中，漢諾塔的遞歸具備典型性，在找出像Tn那樣 表達式，咱們經歷三個階段:

1:看看小的情形，這能使咱們更深刻的瞭解問題

2:求出和證實關心量的一個數學表達式，它使咱們能就給定的量來計算任何n的Tn

3：求出和證實咱們的數學表達式的一個閉形式

其實根據咱們高中所學的知識，咱們能夠對Tn進行簡化的：

T0+1=1;

Tn+1=2Tn-1+2,Un=2Un-1;

等比數列

漢諾塔C語言程序片斷:#include <stdio.h>
int hanoiSolver(int peg1, int peg2, int peg3, int dCount)
{
    int mCount = 0;
    if (dCount > 1) {
        mCount += hanoiSolver(peg1, peg3, peg2, dCount - 1);
        printf("Move the top disk : peg %d -> peg %d\n", peg1, peg3);
        mCount += hanoiSolver(peg2, peg1, peg3, dCount - 1);
    } else {
        printf("Move the top disk : peg %d -> peg %d\n", peg1, peg3);
    }
    return ++mCount;
}
下一篇估計得有段時間去寫了，每天考試，下一篇是打算寫Lines in the Plane(平行中的直線)問題

總 結:因爲最近一直忙於複習考試，看的不多，但已經看完第一章了,課後習題還沒寫(感受是在被教怎麼作人了)，真的寫的很精彩，對於有些問題感到很神奇，對 於不少解題思路很方法感受仍是有點吃力去理解，頁邊的塗鴉也很嗨啊，大師的公式推導，絕妙方法，真的讓我醉了，醉的不行了，最後附上我在微博上看到的一 句，我以爲頗有道理:

算法和彙編，這纔是計算機科學。低頭製造垃圾簡直暴殄天物。。。。。