《具體數學》1.3遞歸(三)

文章開頭:先吐槽一下長春的天氣，冬天是一星期有6天在下雪，如今算是夏天了吧，動不動下雨下冰雹，天氣變化的有點快，還有就是學校的妹子，分爲女神和女屌絲，女神通常在長春流行穿風衣，女屌絲通常流行穿牛仔系列，最後吐槽一下，我曾經的喜歡過的人變了，唏噓不已，好了吐槽完畢，這一篇介紹一下遞歸的最後一個故事Josephus Circle(約瑟夫環問題),這個部分有點多估計得分兩次了。。。。

1.3Josephus Circle(約瑟夫環問題)

這本書仍是老規矩，先以故事引出問題：這最後的例子是一個古老問題的變型，它是以公元一世紀著名歷史學家Flavius Josephs命名的。傳說是Josephus的數學才幹讓他逃過一劫。
在猶太人和羅馬人戰爭期間，Josephs等41個猶太反抗者陷入包圍。他們寧死不作俘虜，決定圍成一個圓圈，每次由剩下的人中的第三個自殺，直到全部人都死去爲止。
Josephus和他的1個朋友認爲，自殺是愚蠢的。所以他很快地算出死亡之圈中他倆應該站的位置（固然，是兩個應該最後自殺的位置，沒有人監督他們是否自殺，因此你懂得）

咱們的問題是，從編號爲1到n的圍成一圈的人開始，依次排除剩下的人中的第2個（注意：是從當前「指針」開始），直到僅剩1個倖存者。下面是n = 10的狀況：

排除次序是2，4，6，8，10，3，7，1，9。所以5倖存。
問題目標是：如何肯定倖存者的號碼J (n)？

咱們剛纔看到J(10)=5.咱們可能猜想當n是偶數時J(n)=n/2;並且情形n=2支持了猜想:J(2)=1

但對於n=4,n=6猜想失敗,從上面的表看來，J(n)都是奇數，所以將其做爲新的猜測：事實上第1輪篩選就排除了全部的偶數，所以猜測成立。
另外還觀察到，若n是偶數，那麼在作完第1輪篩選以後，剩下的情形和最初的開始狀況是很是相似的，可是人數要少一半，並且編號也有所不一樣。
假設原先有2n我的，在第1輪篩選以後，剩下的狀況是

此時圓圈剩下了n我的：一、三、五、七、……、2n – 三、2n – 1。並且「指針」又回到了1的位置。這與最初有n我的的情形是相同的，區別僅在於編號有變化。

編號的變化會帶來什麼影響?
從編號1開始，下1個被排除的人是3，其後的篩選過程與n我的的情形一致：
當前的情形：二、四、六、八、……（差爲2的等差數列）
 n我的的情形： 三、七、十一、15（差爲4的等差數列）
相同點：人數相同
不一樣點：編號變爲2倍減1
注意到，倖存者J(2n)必然從當前剩下的人中出現，所以：
J(2n) = 2J(n) – 1

其實，咱們對於人數爲奇數頁能夠獲得J(2n+1)=2J(n)+1

到目前爲止，咱們獲得了兩個「遞歸」色彩的式子：
J(2n) = 2J(n) - 1
J(2n + 1) = 2J(n) + 1
上面涵蓋了全部「偶數」和「奇數」 ，即全部正整數，但還缺乏boundary value，做爲「遞歸系統」的第一推進力。
很簡單，J(1) = 1（最後剩下1我的，沒必要再篩選）。這樣就獲得了完整的J的遞歸方程。
這個遞歸方程的效率很是高，由於每次將n縮小至少1/2。例如，咱們用19次就能計算出J(1000000)：

但若是像上面那樣就完 了，這本書真的很厲害，有好多新的思想和套路

可是不管從數學的完美意義，仍是實際的計算效率上來考慮，最好找到閉形式解。咱們仍然使用「猜測證實」思路來求解封閉形式解。首先根據遞歸方程，對較小的n創建J(n)表：

能夠發現什麼規律？(若把n記爲形式n=2^m+l,其中2^m是不超過n的2的最大冪，而l則是留下的量)
一、每隔若干個位置就從1開始
二、每次從1開始的子序列都是級差爲2的等差數列
三、每一個子序列的長度是遞增的
繼續觀察，能夠看到：
一、第1子序列長度爲1，此後長度爲二、四、八、……
（謹慎懷疑子序列長度構成比值爲2的等比數列！！）
二、若是上述懷疑成立，那麼咱們只要知道當前n處於第幾個子序列的第幾個位置，就可以從1逐漸累加獲得J(n)了！！！
繼續找n和J(n)的數量關係：
假設n以前已經有m個子序列，而n是第(m+1)個子序列的第l個位置，那麼顯然有
J(n) = 1 + 2(l - 1)
n與m、l之間有什麼關係呢？
n以前的整數數量爲(1 + 2 + 4 + …… + 2^m-1) + (l - 1)，所以有
n = (2^m  – 1) + l = 2^m + (l – 1)

最後咱們能夠猜想獲得封閉形式爲:J(2^m+l) = 2l + 1(m>=0,0<=l<2^m)

(注意，若2^m<=n<2^m+1,則剩餘部分l=n-2^m知足0<=l<2^m+1-2^m=2^m)

要證實:J(2^m+l) = 2l + 1(m>=0,0<=l<2^m)這確定要用到數學概括法了,可是這裏是對m概括。當m=0時，咱們必定有l=0;

所以遞歸式基礎化爲J(1)=1,概括步還分爲兩部分，依賴於l是偶數仍是奇數，若m>0和2^m+l=2n,則 l是偶數並由式J(2n) = 2J(n) - 1和概括假設可得

J(2^m+l)=2J(2^m-1+l/2)-1=2(2l/2+1)-1=2l+1,這剛好是咱們要的，同理可得，奇數情形,完成概括，此次咱們計算J(100),此時咱們獲得100=2^6+36,因此J(100)=2*36+1=73(其實，在這裏我已經以爲很厲害了，下面的更厲害)

大師發現解中2的冪起了重要做用，因此天然要看二進制表示n和J(n)，假設n的二進制展開爲

n=(bmbm-1...b1b0)2;

也就是說,n=bm2^m+bm-12^m-1+...+b12+b0,其中每一個bi是0或1，且其中的第一位bm是1.想到n=2^m+1,咱們相繼獲得

n=(1bm-1bm-2...b1b0)2,l=(0bm-1bm-2...b1b0)2,2l=(bm-1bm-2...b1b01)2,2l+1=(bm-1bm-2...b1b01)2,J(n)=(bm-1bm-2...b1b0bm)2

最後一步是由J(n)=2l+1和bm=1而得出的因此咱們證實了J((bmbm-1...b1b0)2)=(bm-1...b1b0bm)2;

也就是說,以計算機程序設計的用語，循環左移一位咱們從n取得J(n)難以想象，例如若n=100=(1100100)2,則J(n)=J((1100100)2)=(1001001)2,它是64+8+1=73。

好了先就寫到這了，感受這本書在數學上真的是下了不少功夫，一步一步的引導咱們去閱讀與思考，有點上癮了，我怎麼了，等過幾天，再把另外一部分補上，由於有點多，講約瑟夫這塊。。。