(1-cosx)/(x^2)從負無窮到正無窮的積分怎麼求？

時間 2019-11-15

標籤 cosx 無窮積分怎麼简体版

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(1-cosx)/(x^2)從負無窮到正無窮的積分怎麼求？ spa

這道題須要先進行簡單地變形，而後利用帕塞瓦爾定理，再計算結果。

1.簡單變形：

原式= $2\int_{-\infty }^{\infty} \frac{sin^{2}\frac{x}{2} }{x^{2}} dx$

令,有

……= $\int_{-\infty }^{\infty} \frac{sin^{2}t }{t^{2}} dt=\int_{-\infty }^{\infty} (\frac{sint }{t})^{2} dt=\int_{-\infty }^{\infty} Sa^{2}(t) dt$ ;

2.帕塞瓦爾等式

$\int_{-\infty}^{\infty} f^{2}(t)dt=\frac{1}{2\pi } \int_{-\infty}^{\infty} \left| F(j\omega ) \right|^{2} d\omega$

又 $Sa(t)\leftrightarrow \pi g_{2}(\omega )$

故原式= $\frac{\pi }{2} \int_{-\infty}^{\infty} g_{2}^{2}(\omega )d\omega$ .

3.計算結果

$g_{2}(\omega )$ 在 $\left| \omega \right| <1$ 時有非零值1，則易知原式= $\pi$ 。
orm

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