微軟面試題：雞蛋從第N層及以上的樓層落下會摔破

題目：

有一棟樓共100層，一個雞蛋從第N層及以上的樓層落下來會摔破， 在第N層如下的樓層落下不會摔破。給你2個雞蛋，設計方案找出N，而且保證在最壞狀況下， 最小化雞蛋下落的次數。(假設每次摔落時，若是沒有摔碎，則不會給雞蛋帶來損耗)

 

形形色色的解答：

在參考下面的解答以前，請你先仔細思考10分鐘。看你給出的方案最小下落次數是多少。若是題目總分10分，看看本身能得幾分。

 

=========答案分割線=========

 

解答1：得0分的答案

 

用二分法。

 

這基本能夠說就是沒有經過大腦得出來的答案，並且還貌似很牛掰的樣子，並經常帶着一個lgn的複雜度。若是你接着問怎麼個二分法，他就答不上來了。

這個答案不是我杜撰出來的，而是我拿這個題目問過身邊的一些人，其中有幾我的真的隨口就把二分法給說出來了。每當我聽到二分法時，當我沒問。

 

解答2：得5分的答案

 

若是咱們動一下腦子仔細思考這個問題，咱們會獲得一個相對不錯的答案。參加BAT面試那位朋友就給出了下面的這種方案，並自認爲是一種很完美的答案。但面試官給出的回答是：我仍是不滿意。

 

聽說，他這種思路的靈感來自於數學中的求極值問題。

 

已知兩個天然數的和爲25，求這兩個數的平方和的最大、最小值。

解：設一個天然數爲x 另外一個天然數爲25-x

x²+(25-x)²
=2x²-50x+625
=2(x²-25x+312.5)
=2[(x-12.5)²-156.25+312.5]
=2[（x-12.5）²+156.25]

因此可得：
當x取12.5時 有最小值2×156.25=312.5  （當x==y==12.5時取得極小值）
當x取25時 有最大值2×（12.5²+156.5）=625

 

所以，很容易獲得啓發(固然，這只是一種直覺，並無什麼理論依據。)。100層樓，平均分紅10分，每份恰好10層。

 

那麼咱們的作法以下：

 

將100層樓分紅10分，每一份就是10層樓。首先，將雞蛋從第10層樓開始扔。

 

那麼結果有兩種可能：

狀況1：若是碎了，說明臨界樓層在1到10之間，但如今只剩下一個雞蛋了，只能從第一層一直到第10層。
 

狀況2：若是沒有碎，接下來從第20層扔雞蛋。

該方法的思路是，用一個雞蛋來試探，找到臨界樓層的大體範圍[1~10]、[11-20]….[91-100]。而後用另外一個雞蛋在大體範圍內找出精確樓層。該方法的最壞次數是：18次。(本身去算，若是你算出來是17次，那就17次唄：))

 

解答3：得10分的答案

 

這是真正有理有據的解答。具體以下所述：

 

咱們先假設最壞狀況下，雞蛋下落次數爲x，即咱們爲了找出N，一共用雞蛋作了x次的實驗。 那麼，咱們第一次應該在哪層樓往下扔雞蛋呢？先讓咱們假設第一次是在第y層樓扔的雞蛋， 若是第一個雞蛋在第一次扔就碎了，咱們就只剩下一個雞蛋，要用它準確地找出N， 只能從第一層向上，一層一層的往上測試，直到它摔壞爲止，答案就出來了。 因爲第一個雞蛋在第y層就摔破了， 因此最壞的狀況是第二個雞蛋要把第1到第y-1層的樓都測試一遍，最後得出結果， 噢，原來雞蛋在第y-1層才能摔破(或是在第y-1層仍沒摔破，答案就是第y層。) 這樣一來測試次數是1+(y-1)=x，即第一次測試要在第x層。OK， 那若是第一次測試雞蛋沒摔破呢，那N確定要比x大，要繼續往上找，須要在哪一層扔呢？ 咱們能夠模仿前面的操做，若是第一個雞蛋在第二次測試中摔破了， 那麼第二個雞蛋的測試次數就只剩下x-2次了(第一個雞蛋已經用了2次)。 這樣一來，第二次扔雞蛋的樓層和第一次扔雞蛋的樓層之間就隔着x-2層。 咱們再回過頭來看一看，第一次扔雞蛋的樓層在第x層，第1層到第x層間共x層； 第1次扔雞蛋的樓層到第2次扔雞蛋的樓層間共有x-1層(包含第2次扔雞蛋的那一層)， 同理繼續往下，咱們能夠得出，第2次扔雞蛋的樓層到第3次扔雞蛋的樓層間共有x-2層， ……最後把這些互不包含的區間數加起來，應該大於等於總共的樓層數量100，即

 

x + (x-1) + (x-2) + ... + 1 >= 100

(x+1)*x/2 >= 100

 

得出答案是14。

 

即我先用第1個雞蛋在如下序列表示的樓層數不斷地向上測試，直到它摔破。 再用第2個雞蛋從上一個沒摔破的序列數的下一層開始，向上測試， 便可保證在最壞狀況下也只須要測試14次，就能用2個雞蛋找出從哪一層開始， 往下扔雞蛋，雞蛋就會摔破。

 

14, 27, 39, 50, 60, 69, 77, 84, 90, 95, 99, 100

 

好比，我第1個雞蛋是在第77層摔破的，那麼我第2個雞蛋就從第70層開始，向上測試， 第二個雞蛋最多隻須要測試7次(70,71,72,73,74,75,76)，加上第1個雞蛋測試的 7次(14,27,39,50,60,69,77)，最壞狀況只須要測試14次便可得出答案。

 

這個問題還有一個泛化的版本，即d層樓，e個雞蛋，而後設計方案找出N， 使最壞狀況下測試的次數最少。維基上給出了DP的解法，感興趣的話也能夠看看如下連接： 在第12章有比較詳細的介紹。