【刷題】麪筋-兩顆雞蛋測臨界樓層的問題

題目

• 有一棟樓，共100層。

• 定義：雞蛋在第n層樓扔下，不會碎，第n+1層扔下，會碎，那麼第n層就叫臨界樓層（即最高的安全樓層）

• 你手中有兩個雞蛋（默認理想狀態：兩個雞蛋徹底相同），如何優化嘗試策略，使得使用最少次數，測出臨界樓層

• 即，使用此策略，最差也能夠在多少次之內測出臨界樓層

• （ps:假定雞蛋必定會在某層樓下落後碎掉）

思路1：暴力法遍歷

• 爲了避免讓雞蛋碎掉，咱們從一樓開始測試，這樣只須要一個雞蛋，當到達臨界樓層的上一層n+1時，雞蛋碎了，而後咱們能夠得出n層是臨界樓層，這是最原始的方法，遍歷。

• 這種策略最糟糕的狀況會是測試到100樓雞蛋纔會碎，測試次數是100次，臨界樓層是99樓。

• 最好的狀況是測試到2樓雞蛋就碎了，測試次數是2次，臨界樓層是1層。

思路2：二分查找

• 咱們手中有倆雞蛋，爲了充分利用條件，咱們能夠利用第一個雞蛋來縮小範圍。

• 先跑到50樓去扔，沒碎的話，再去75樓去扔···直到第一個雞蛋碎掉。

• 若是咱們從50樓扔，沒碎，說明50樓如下是安全的，50樓以上還有50樓，那咱們再去上面的50樓的一半——75樓去扔，在75樓碎了，說明臨界樓層在50層~74層之間，咱們就利用第二個雞蛋，遍歷51層到74層。這是運用二分法。

• 這種策略最糟糕的狀況會是50層雞蛋就碎了，49層是臨界樓層，測試次數是1+49次。

• 最好的狀況是1樓是臨界樓層，測試次數是1+2次。

思路3：平均分組

• 嘗試使每一個雞蛋的測試任務大體至關，即給100開個平方根，第一個雞蛋只測試整十樓層，第二個雞蛋測試兩個整十樓層之間的樓層。咱們能夠先測10樓，20樓，30樓···，直到第一個雞蛋碎掉。

• 若是咱們測到30樓，第一個雞蛋碎了，那咱們就用第二個雞蛋遍歷測試21~29樓。

• 這種策略最糟糕的狀況會是99層是臨界樓層，測試次數是10+9次。

• 最好的狀況是1樓是臨界樓層，測試次數是1+2次。

思路4：非平均分組

• 咱們假定存在一種最優策略，最多n次測試就能找到臨界樓層。那麼，最糟糕的情況會是哪種呢？

• 從上面的分析能夠看出，測試次數分爲兩部分

  • 第一顆雞蛋的測試次數x，用來縮小範圍
  • 第二顆雞蛋用來在小範圍內查找臨界樓層y
  • 即x+y=n

• 那麼當測試次數固定爲n時，每當x增長1，y則減小1

  • 即，每當第一顆雞蛋測試一次，那麼所留給第二顆雞蛋探查的範圍就應該減小1

• 例如：

  • 若是n=10,那麼第一次探查了20樓，使用了一次機會，若是碎了，肯定的範圍是1~19，那麼，第二顆雞蛋須要使用10-1次機會去探查19層，在最糟糕的情形下顯然沒法完成。

  • 顯然當n=10時，第一次探查爲10樓顯然更合適，肯定下來的範圍是1~9，第二顆雞蛋使用10-1次探查9層樓，最糟糕的情形下也能知足。

  • 若是探查10樓後雞蛋沒碎，而在第二次探查時碎了呢？咱們第二次探查應該把範圍再縮小1，若是第一個雞蛋多探查一次，那麼留給第二顆雞蛋的探查機會就少一次，咱們要保證在最糟糕的情形下也能探查到，因此留給第二顆雞蛋的探查範圍應該與其探查機會相等。即第一顆雞蛋的第二次機會應該探查第19層，肯定下來的範圍須要探查的範圍是11~18，第二顆雞蛋的剩餘探查次數恰好爲10-2，匹配成功

  • ·····

  • 根據以上分析，咱們能夠發現，每一次的探查範圍都減一，即n-1,n-2,n-3,....2,1,0

  • 最後咱們的探查範圍會縮小到0

  • 那麼咱們把這些探查範圍加起來，再加上n就是咱們的探查總範圍

• 即n+(n-1)+(n-2)+······+3+2+1+0=100

  • 咱們先假設最壞狀況下，雞蛋下落次數爲x，即咱們爲了找出N，一共用雞蛋作了x次的實驗。

  • 假設第一次是在第y層樓扔的雞蛋， 若是第一個雞蛋在第一次扔就碎了，咱們就只剩下一個雞蛋，要用它準確地找出N， 只能從第一層向上，一層一層的往上測試，直到它摔壞爲止，答案就出來了。

  • 因爲第一個雞蛋在第y層就摔破了， 因此最壞的狀況是第二個雞蛋要把第1到第y-1層的樓都測試一遍，最後得出結果， 噢，原來雞蛋在第y-1層才能摔破(或是在第y-1層仍沒摔破，答案就是第y層。) 這樣一來測試次數是1+(y-1)=x，即第一次測試要在第x層。

  • OK， 那若是第一次測試雞蛋沒摔破呢，那N確定要比x大，要繼續往上找，須要在哪一層扔呢？ 咱們能夠模仿前面的操做，若是第一個雞蛋在第二次測試中摔破了， 那麼第二個雞蛋的測試次數就只剩下x-2次了(第一個雞蛋已經用了2次)。 這樣一來，第二次扔雞蛋的樓層和第一次扔雞蛋的樓層之間就隔着x-2層。

  • 咱們再回過頭來看一看，第一次扔雞蛋的樓層在第x層，第1層到第x層間共x層； 第1次扔雞蛋的樓層到第2次扔雞蛋的樓層間共有x-1層(包含第2次扔雞蛋的那一層)， 同理繼續往下，咱們能夠得出，第2次扔雞蛋的樓層到第3次扔雞蛋的樓層間共有x-2層， ……最後把這些互不包含的區間數加起來，應該大於等於總共的樓層數量100，即x + (x-1) + (x-2) + ... + 1 >= 100

  • 注：算式中的項表示的是第一顆雞蛋走的層數，所以是從n開始。

• 解恰好爲正整數14，即便用此策略最多探查14次便可在100樓中找到臨界樓層

• 另外，當探查總範圍發生改變時，解的n可能爲小數，顯然，探查次數只能爲整數且n越小探查總範圍越小，

• 即n應向上取整

• 我先用第1個雞蛋在如下序列表示的樓層數不斷地向上測試，直到它摔破。 再用第2個雞蛋從上一個沒摔破的序列數的下一層開始，向上測試， 便可保證在最壞狀況下也只須要測試14次，就能用2個雞蛋找出從哪一層開始， 往下扔雞蛋，雞蛋就會摔破。

• 14, 27, 39, 50, 60, 69, 77, 84, 90, 95, 99, 100

  • 好比，我第1個雞蛋是在第77層摔破的，那麼我第2個雞蛋就從第70層開始，向上測試， 第二個雞蛋最多隻須要測試7次(70,71,72,73,74,75,76)，加上第1個雞蛋測試的 7次(14,27,39,50,60,69,77)，最壞狀況只須要測試14次便可得出答案。

代碼實現

• 這個問題還有一個泛化的版本，即d層樓，e個雞蛋，而後設計方案找出N， 使最壞狀況下測試的次數最少。這個要用動態規劃(DP)來解。

• f[d][e]表示d 層樓，e個雞蛋時，最壞狀況下的測試次數，則：

• f[d][e]=min{max(f[d-i][e]+1，f[i-1][e-1]+1)}，i=1,2,...,d;

• f[k][1]=k，0<=k<=d，f[0][0...e]=0;

• 實現代碼以下：

int min_testnumber(int d, int e)  
{  
        int **f=new int *[d+1];  
        int i,j,k;  
        for(i=0;i<=d;i++)  
            f[i]=new int[e+1];  
        for(i=0;i<=d;i++)  
            f[i][1]=i;  
        for(i=0;i<=e;i++)  
            f[0][e]=0;  
        for(i=1;i<=e;i++)  
        {  
            for(j=1;j<=d;j++)  
            {  
                int tmp;  
                int min_test=0x7FFFFFFF;  
                for(k=1;k<=j;k++)  
                {  
                    tmp=f[j-k][i]+1>f[k-1][i-1]+1?f[j-k][i]+1:f[k-1][i-1]+1;  
                    if(tmp>min_test)  
                        min_test=tmp;  
                }  
                f[j][i]=min_test;  
            }  
       }  
       return f[d][e];  
}

擴展

• 若是咱們有三個雞蛋，有k次機會，咱們最大能夠測試多少層樓？

  • 思路同前面同樣，第一次測試，不能過高也能過矮，必須恰到好處，也就是第一枚雞蛋若是破碎，剩餘k-1次機會能將剩餘樓層給測試完。

  • 由上面結論，k-1次機會最多能夠測試k(k-1)/2層樓，因此第一次在k(k-1)/2+1層樓，第一次若是第一枚雞蛋不碎，第二次在此基礎上增長(k-1)(k-2)/2+1層樓，因而，三個雞蛋k次機會總共測試樓層數爲

  • k=9.

• 至於四個雞蛋，五個雞蛋，以致於M個雞蛋，能夠以此類推，方法同上。

參考連接

• Google經典燒腦面試題--扔雞蛋問題思路整理
• 100層樓2個雞蛋，測試其最低破碎樓層問題

END