100層樓2個雞蛋，如何得知雞蛋能承受幾層的撞擊

1、題目：
　　有一棟樓共100層，一個雞蛋從第N層及以上的樓層落下來會摔破， 在第N層如下的樓層落下不會摔破。給你2個雞蛋，設計方案找出N，而且保證在最壞狀況下， 最小化雞蛋下落的次數。

 

解答2：得5分的答案

 

若是咱們動一下腦子仔細思考這個問題，咱們會獲得一個相對不錯的答案。參加BAT面試那位朋友就給出了下面的這種方案，並自認爲是一種很完美的答案。但面試官給出的回答是：我仍是不滿意。

 

聽說，他這種思路的靈感來自於數學中的求極值問題。

 

已知兩個天然數的和爲25，求這兩個數的平方和的最大、最小值。

解：設一個天然數爲x 另外一個天然數爲25-x

x²+(25-x)²

=2x²-50x+625

=2(x²-25x+312.5)

=2[(x-12.5)²-156.25+312.5]

=2[（x-12.5）²+156.25]

因此可得：

當x取12.5時 有最小值2×156.25=312.5  （當x==y==12.5時取得極小值）

當x取25時 有最大值2×（12.5²+156.5）=625

 

所以，很容易獲得啓發(固然，這只是一種直覺，並無什麼理論依據。)。100層樓，平均分紅10分，每份恰好10層。

 

那麼咱們的作法以下：

 

將100層樓分紅10分，每一份就是10層樓。首先，將雞蛋從第10層樓開始扔。那麼結果有兩種可能：

狀況1：若是碎了，說明臨界樓層在1到10之間，但如今只剩下一個雞蛋了，只能從第一層一直到第10層。

狀況2：若是沒有碎，接下來從第20層扔雞蛋。

該方法的思路是，用一個雞蛋來試探，找到臨界樓層的大體範圍[1~10]、[11-20]….[91-100]。而後用另外一個雞蛋在大體範圍內找出精確樓層。該方法的最壞次數是：18次

 

2、思路：
　　先假設，最小的次數爲x次。
　　首先在x層摔，那麼會出現兩個結果：
　　一、碎了，爲了找出那一層碎了，第二個雞蛋必須從1~x-1進行遍歷的摔
　　二、沒碎，那麼第二次就在x+(x-1)樓層摔。

爲何是x+x-1樓層呢？
首先咱們已經假設了經過x步咱們就能獲得答案，如今咱們在x層已經用了一次了，那麼就只剩下x-1步了。因此咱們選擇x+(x-1)層，若是碎了，咱們就能經過x-2步，遍歷x+1~x+(x-1)-1的全部樓層。

　　三、若是在x+(x-1)樓碎了，那麼同1，遍歷x+1~x+(x-1)-1
　　四、沒碎，那麼同2，就在x+(x-1)+(x-2)層摔
　　…
　　最後咱們將會得出這樣一個樓層公式x+(x-1)+(x-2)+…+1 = x(x+1)/2。
　　這個公式有什麼意義呢？
　　有， x(x+1)/2 >= 100，這樣才能順利的解除x。
　　有人說，x(x+1)/2 = 99就能夠，若是雞蛋在99層都沒碎，那麼一定是100層。 我想說誰告訴你記得必定會碎！
　　那麼咱們就順利的解除 x=14。

3、擴展
　　此題還有一個擴展，就是爲N個雞蛋從M層摔找出最小值。
　　那就不是很好手解了，因此寫了代碼，使用動態規劃原理。動態規劃式子以下：

f[n][m] = 1+max(f[n-1][k-1],f[n][m-k]) k屬於[1,m-1]
解釋下原理：
一、當手裏有n個的時候，雞蛋從k層往下摔，若是破了，那麼手裏只有n-1雞蛋了，那麼就須要測試f[n-1][k-1]樓層。或者更通俗好理解點的，我 們運用2個雞蛋100樓層的題目舉例子。以上式子變爲：f[2][m] = 1+max(f[1][k-1],f[2][m-k])
　　那麼當手裏有2個雞蛋的時候，在k層摔，碎了。那麼如今手裏也就只有一個雞蛋了，此時咱們必須遍歷1~k-1找出第一次碎的樓層。因此爲1+f[1][m-k]，前面的1表明在k層的操做。
二、沒破，那麼手裏還有n個雞蛋，那麼須要測試k+1~m這些樓層。

此時我想問下，當手裏有2個雞蛋測試1~m-k層和手裏有2個雞蛋測試k+1~m有什麼區別？
有人說有，由於樓層越高越容易碎，那實際上是你我的的想法罷了。其實並無區別，因此第一個公式能夠寫爲f[n][m-k]。

最後附上代碼，爲了理解方便，而沒必要從數組從0開始而困擾，這裏就空間多開了點，因此若是拿去用的話，能夠優化下：

package cglib;

 

 

public class DeleteNode {
    public int countMinSetp(int egg,int num){
        if(egg < 1 || num < 1) return 0;
        int[][] f = new int[egg+1][num+1];//表明egg個雞蛋，從num樓層冷下來所需的最小的次數
        for(int i=1;i<=egg; i++){
            for(int j=1; j<=num; j++)
                f[i][j] = j;//初始化，最壞的步數
        }

        for(int n=2; n<=egg; n++){
            for(int m=1; m<=num; m++){
                for(int k=1; k<m; k++){
                    //這裏的DP的遞推公式爲f[n][m] = 1+max(f[n-1][k-1],f[n][m-k]) k屬於[1,m-1]
                    //從1-m層中隨機抽出來一層k
                    //若是第一個雞蛋在k層碎了，那麼咱們將測試1~k-1層，就能夠找出來，也即1+f[1][k-1]，1便是已經扔了一次
                    //若是第一個雞蛋在k層沒有碎，那麼咱們將測試k+1~m也即m-k層，
                    //      這裏也是重點！！！！
                    //      如今咱們手裏有2個雞蛋，要測試m-k層，那麼我想問，此時和你手裏有2個雞蛋要測試1~m-k層有什麼區別？
                    //      沒有區別！是的在已知k層不碎的狀況下，測試k+1~m層的方法和測試1~m-k沒區別，因此能夠寫成 1+f[n][m-k] 其中1表示爲 在k層的那一次測試
                    f[n][m] = Math.min(f[n][m],1+Math.max(f[n-1][k-1],f[n][m-k]));
                }
            }
        }
        return f[egg][num];
    }
    public static void main(String[] args) {
        DeleteNode e = new DeleteNode();
        System.out.println(e.countMinSetp(5,100));
    }
    
    
    }  

輸出：14

 

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有一棟樓共100層，一個雞蛋從第N層及以上的樓層落下來會摔破， 在第N層如下的樓層落下不會摔破。給你2個雞蛋，設計方案找出N，而且保證在最壞狀況下， 最小化雞蛋下落的次數。

咱們先假設最壞狀況下，雞蛋下落次數爲x，即咱們爲了找出N，一共用雞蛋作了x次的實驗。 那麼，咱們第一次應該在哪層樓往下扔雞蛋呢？先讓咱們假設第一次是在第y層樓扔的雞蛋， 若是第一個雞蛋在第一次扔就碎了，咱們就只剩下一個雞蛋，要用它準確地找出N， 只能從第一層向上，一層一層的往上測試，直到它摔壞爲止，答案就出來了。 因爲第一個雞蛋在第y層就摔破了， 因此最壞的狀況是第二個雞蛋要把第1到第y-1層的樓都測試一遍，最後得出結果， 噢，原來雞蛋在第y-1層才能摔破(或是在第y-1層仍沒摔破，答案就是第y層。) 這樣一來測試次數是1+(y-1)=x，即第一次測試要在第x層。OK， 那若是第一次測試雞蛋沒摔破呢，那N確定要比x大，要繼續往上找，須要在哪一層扔呢？ 咱們能夠模仿前面的操做，若是第一個雞蛋在第二次測試中摔破了， 那麼第二個雞蛋的測試次數就只剩下x-2次了(第一個雞蛋已經用了2次)。 這樣一來，第二次扔雞蛋的樓層和第一次扔雞蛋的樓層之間就隔着x-2層。 咱們再回過頭來看一看，第一次扔雞蛋的樓層在第x層，第1層到第x層間共x層； 第1次扔雞蛋的樓層到第2次扔雞蛋的樓層間共有x-1層(包含第2次扔雞蛋的那一層)， 同理繼續往下，咱們能夠得出，第2次扔雞蛋的樓層到第3次扔雞蛋的樓層間共有x-2層， ……最後把這些互不包含的區間數加起來，應該大於等於總共的樓層數量100，即

x + (x-1) + (x-2) + ... + 1 >= 100
(x+1)*x/2 >= 100

得出答案是14。

即我先用第1個雞蛋在如下序列表示的樓層數不斷地向上測試，直到它摔破。 再用第2個雞蛋從上一個沒摔破的序列數的下一層開始，向上測試， 便可保證在最壞狀況下也只須要測試14次，就能用2個雞蛋找出從哪一層開始， 往下扔雞蛋，雞蛋就會摔破。

14, 27, 39, 50, 60, 69, 77, 84, 90, 95, 99, 100

好比，我第1個雞蛋是在第77層摔破的，那麼我第2個雞蛋就從第70層開始，向上測試， 第二個雞蛋最多隻須要測試7次(70,71,72,73,74,75,76)，加上第1個雞蛋測試的 7次(14,27,39,50,60,69,77)，最壞狀況只須要測試14次便可得出答案。