AHOI2012樹屋階梯

這玩意不是卡特蘭的經典模型嗎……

咱們設方案數爲f(i)，則f(0)=1,f(1)=1，f(2)=2,f(3)=5，（其實到這裏你再手模一個就出來了）咱們把左上角的矩形刪掉，則會變成下方和右方兩個更小規模的問題（若是沒有就是f(0)嘍），拿樣例舉例f(3)=f(2)的一種狀況*f(0)+f(2)的另外一種狀況*f(0)+f(1)*f(1)+f(0)*f(2)的一種狀況+f(0)*f(2)的另外一種狀況，總結一下，f(3)=$∑_{i=0}^{2}f(i)*f(2-i)$，對全部狀況進行概括，則獲得Cat數O(n^2)的那個遞歸的式子。

至於算的時候，直接O(n)惟一分解接高精就搞定了，（至於你不懂什麼叫O(n)惟一分解，你能夠去看代碼或上一篇博客）。

 

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
int n,prime[1000],prime_num;
bool v[1050];
struct Bigint{
    int a[10000],len;
    void clear(){
        memset(a,0,sizeof(a));
        len=1;
        a[1]=1;
    }
    friend void operator *(Bigint &x,int y){
        int delta=0;
        for(int i=1;i<=x.len;i++){
            x.a[i]=x.a[i]*y+delta;
            delta=x.a[i]/10;
            x.a[i]%=10;
        }
        while(delta>0){
            x.a[++x.len]=delta%10;
            delta/=10;
        }
        while(x.a[x.len]==0&&x.len>1)
            --x.len;
    }
    void out(){
        for(int i=len;i>=1;i--)
            printf("%d",a[i]);
    }
}ans;
void doprime(int x){
    for(int i=2;i<=x;i++){
        if(!v[i]) prime[++prime_num]=i;
        for(int j=1;j<=prime_num&&i*prime[j]<=x;j++){
            v[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    doprime(2*n+2);ans.clear();
    for(int i=1;i<=prime_num;i++){
        long long s=0;
        for(int j=2*n;j/=prime[i];) s+=j;
        for(int j=n;j/=prime[i];) s-=j;
        for(int j=n+1;j/=prime[i];) s-=j;
        for(int j=1;j<=s;j++)
            ans*prime[i];
    }
    ans.out();
    return 0;
}

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至此Cat三題吸取完畢。