[數論系列] 素數篇

本章介紹關於素數的一些數論，限於篇幅不給出證實，須要證實的朋友自行相關證實。

什麼是素數？只能被本身和1整除的數就是素數。

利用這個性質咱們很容易獲得下面的素數判斷方法。

bool isPrime(int x){
    if(x==1)return 0;
    for(int i=2;i*i<=x;i++)
        if(x%i==0)return 0;
    return 1;
}

這裏解釋一下爲何是i*i<=x，i*i<x轉化一下就是i<=sqrt(x）。

想想，若是咱們枚舉到sqrt(x)都沒有找到能夠被它整除的數，後面也就不可能有能夠被它整除的數了，由於一個>sqrt(x)的數要是被x整除了，它的商確定是<sqrt(x)的，而咱們已經枚舉過<=sqrt(x)的數了，裏面沒有，因此>sqrt(x)的約數也是不可能有的。

這種判斷方法的時間複雜度是O(sqrt(n))的，空間複雜度是O(1)的。

再給出一個判斷方法，這個方法的時間複雜度大概是O(sqrt(n)/3)的，空間複雜度也是O(1)。

bool isPrime(int x){
    if(x==1)return false;
    if(x==2||x==3)return true;
    if(x%6!=1&&x%6!=5)return false;
    for(int i=5;i*i<=x;i+=6)
        if(x%i==0||x%(i+2)==0)return false;
    return true;
}

證實被我吃了。

而後就是幾種素數的篩法了。咱們規定下文中討論的[]爲向下取整。

首先是著名的埃篩，Eratosthenes篩法。

埃篩基於這樣一個想法：對於一個數x，它的倍數2x,3x,4x,5x...都不是質數。

因而，咱們從2開始從小到大掃描每一個數x，把它的倍數2x,3x,4x,...,[N/x]*x標記爲合數。

當掃描到一個數時，若它未被標記爲合數，則它就不能被2~x-1中的任何數整除，它就是質數。

可是咱們會發現，埃篩會重複標記一個數。好比8，它會被2標記，還會被4標記，這樣影響了效率。

因而咱們考慮優化，對於每一個數，從x^2開始把x^2,(x+1)*x,...,[N/x]*x標記爲合數。

給出代碼：

int comp[maxn],prime[maxn];
//合數標記(composite)，素數標記
void Eratothenes(int n){//篩到哪裏
　　 for(int i=2;i<=n;i++){
        if(comp[i])continue;
        prime[i]=1;//i是質數
        for(int j=i;j<=n/i;j++)comp[i*j]=1;
    }
}

優化後的埃篩的時間複雜度是O(nloglogn)，接近線性，並且很好寫，推薦熟記。

那有沒有線性篩呢，有，可是我的認爲，會埃篩就夠了，不必爲了卡常寫到線性。

想了解的能夠自行百度。

接下來給出一些定理，仍是同樣，不證。

1. 惟一分解定理

若整數x>=2，則x必定能夠以惟一的形式表示成若干個素數的乘積。

能夠寫做：x=p1^c1*p2^c2*p3^c3*...*pm^cm。

其中，ci均爲正整數且pi均爲素數，知足p1<p2<...<pm

2. 威爾遜定理

沒啥用的定理，若p爲素數，則(p-1)! ≡ 1(mod p)。

3. 威爾遜定理的逆定理

若對於某一正整數p，有(p-1)! ≡ -1(mod p)，則p爲素數。

3. 費馬定理

若p爲素數，x爲正整數，且x和p互質，則x^(p-1) ≡ 1(mod p)。

4. 費馬小定理

若p爲素數，則x^p ≡ x(mod p)。

 

還有一些東西：( ﹁ ﹁ ) ~→待填坑