學習過了二叉查找樹，想必你們有遇到一個問題。例如，將一個數組{1,2,3,4}依次插入樹的時候，造成了圖1的狀況。有創建樹與沒創建樹對於數據的增刪查改已經沒有了任何幫助，反而增添了維護的成本。而只有創建的樹如圖2，纔可以最大地體現二叉樹的優勢。數組
在上述的例子中，圖2就是一棵平衡二叉樹。科學家們提出平衡二叉樹，就是爲了讓樹的查找性能獲得最大的體現（至少我是這樣理解的，歡迎批評改正）。下面進入今天的正題，平衡二叉樹。數據結構
AVL的定義
平衡二叉查找樹：簡稱平衡二叉樹。由前蘇聯的數學家Adelse-Velskil和Landis在1962年提出的高度平衡的二叉樹，根據科學家的英文名也稱爲AVL樹。它具備以下幾個性質：post
- 能夠是空樹。
- 假如不是空樹，任何一個結點的左子樹與右子樹都是平衡二叉樹，而且高度之差的絕對值不超過1
平衡之意，如天平，即兩邊的份量大約相同。如定義，假如一棵樹的左右子樹的高度之差超過1，如左子樹的樹高爲2，右子樹的樹高爲0，子樹樹高差的絕對值爲2就打破了這個平衡。如依次插入1，2，3三個結點（以下圖）後，根結點的右子樹樹高減去左子樹樹高爲2，樹就失去了平衡。性能
那麼在創建樹的過程當中，咱們如何知道左右子樹的高度差呢？在這裏咱們採用了平衡因子進行記錄。學習
平衡因子：左子樹的高度減去右子樹的高度。由平衡二叉樹的定義可知，平衡因子的取值只可能爲0,1,-1.分別對應着左右子樹等高，左子樹比較高，右子樹比較高。以下圖3d
說到這裏，咱們已經能夠大概知道平衡二叉樹的結構定義須要什麼內容了，數據成員，平衡因子，以及左右分支。因此，咱們給出以下的結構定義。你們主要首先先了解平衡因子的各個取值及其含義便可。blog
typedef char KeyType; //關鍵字排序
typedef struct MyRcdType //記錄博客
{數學
KeyType key;
}RcdType,*RcdArr;
typedef enum MyBFStatus //爲了方便平衡因子的賦值，這裏進行枚舉
{ //RH,EH,LH分別表示右子樹較高，左右子樹等高，左子樹較高
RH,EH,LH
}BFStatus;
typedef struct MyBBSTNode //樹結點類型定義
{
RcdType data; //數據成員
BFStatus bf; //平衡因子
struct MyBBSTNode *lchild,*rchild; //左右分支
}BBSTNode,*BBSTree;
AVL樹的插入時的失衡與調整
前言：這部分的失衡調整是指插入時的失衡與調整。刪除的失衡與調整與插入大體同樣，可是仍是有不少不一樣，在後續章節講解。
1、 失衡與調整的引導
說了這麼久，咱們開始進入今天的重點，如何將一棵不平衡的二叉樹變成平衡二叉樹（只討論不平衡的是由於假如樹是平衡的就沒必要咱們進行處理）。平衡二叉樹的失衡調整主要是經過旋轉最小失衡子樹來實現的。
最小失衡子樹：在新插入的結點向上查找，以第一個平衡因子的絕對值超過1的結點爲根的子樹稱爲最小不平衡子樹。也就是說，一棵失衡的樹，是有可能有多棵子樹同時失衡的，以下。而這個時候，咱們只要調整最小的不平衡子樹，就可以將不平衡的樹調整爲平衡的樹。
在圖7中。2結點（左子樹樹高-右子樹樹高）的絕對值=2。同理，3結點的平衡因子也爲2.此時同時存在了兩棵不平衡子樹，而以3爲根的樹是最小的不平衡子樹。咱們只要將其以3爲中心，將最小不平衡樹向左旋轉，便可獲得平衡二叉樹，如圖8。具體方法後續講解。
下面咱們先用兩個簡單的例子來感覺一下調整的方法。
例1：右子樹太高，向左旋轉。步驟以下
i. 將2做爲根結點
ii. 將1做爲2的左孩子
iii. 將2的左孩子做爲1的右孩子（維護樹的有序性，只是此處爲NULL而已）
例2：左子樹太高，向右旋轉。步驟以下
i. 將2做爲根結點
ii. 將3做爲2的右孩子
iii. 將2的右孩子做爲3的左孩子（維護樹的有序性，只是此處爲NULL而已）
下面咱們再來看一個經過旋轉，可是沒辦法達到平衡的失敗例子。
例3：右子樹太高，向左旋轉。步驟以下
i. 將3做爲根結點
ii. 將3的左孩子做爲1的右孩子
iii. 將1做爲3的左孩子
如上，咱們發現，旋轉以後樹並無恢復平衡。對比圖9，咱們發現，根的右子樹不一致。
在上面的三個例子咱們能夠看出，咱們對不平衡的樹進行旋轉的時候，不只須要考慮須要最小失衡子樹的根結點的平衡因子，還要考慮根結點較高子樹的根結點的平衡因子。如圖9與圖11中，較高子樹都爲右子樹，右子樹不一樣，旋轉後有着徹底不一樣的結果。
爲了方便討論，咱們使用連續的兩個字母來表示平衡因子，以表示各類不一樣的狀況。第一個字母表示最小不平衡子樹根結點的平衡因子，第二個字母表示最小不平衡子樹較高子樹的根結點的平衡因子。使用L表示左子樹較高，R表示右子樹較高，E表示左右子樹等高。如上述圖11，根爲的平衡因子L，較高子樹的根爲L，咱們將這種狀況表示爲LL型，再如上述例子3，根爲R，較高子樹的根爲L咱們將這種狀況稱爲RL型。
下面咱們將對全部的失衡狀況進行討論。大體分爲兩大類，一左子樹太高，二右子樹太高。順帶提一下記憶的方法，讀者對於具體某一種類型只要記住最後哪個結點做爲根便可，也就是下面標紅色的部分。
2、失衡與處理詳解
1. 左子樹太高
a) LL型
在LL型的不平衡樹中，咱們首先找到最小不平衡子樹，再以其根結點向右旋轉。爲什麼是向右旋轉呢？應該不難理解，向右旋轉後，至關於右邊的子樹樹高增長了1，而左邊的子樹樹高下降了1，而本來的樹高之差爲2,那麼就可以將根的平衡因子就化爲0.引用一下以前的圖以下。旋轉以後爲「原來根結點的左孩子做爲新的根結點」。
咱們對樹以根結點爲中心，向右旋轉。旋轉步驟以下
i. 將2做爲根結點
ii. 將3做爲2的右孩子
iii. 將2的右孩子做爲3的左孩子（維護樹的有序性，只是此處爲NULL而已）
旋轉後，3與2的平衡因子爲EH，1的平衡因子保持不變。
b) LE型
在這裏須要說明的是，插入的時候，是不會出現LE的這種狀況的。只有在刪除的時候纔會出現。下面對於爲什麼插入不可能出現作一些我的看法。
咱們不妨假設存在LE的這種狀況。以下。
假設咱們剛插入的元素是1，那麼原來的樹已經不是平衡樹。不可能。
假設咱們剛插入的元素是2.5，那麼原來的樹也不是平衡樹，也不可能。因此說在插入的時候，是不會出現LE的這種狀況的。而具體何時會出現呢，咱們在刪除的章節進行講解。同理，不可能出現RE的狀況，下面也不進行討論。讀者可使用反證法自行驗證。
c) LR型
對於LR，要分爲兩步進行旋。旋轉以後爲「原來根結點的左孩子的右孩子做爲新的根結點」。
第一以較高子樹的根，即1，爲中心向左旋轉。具體步驟以下。
i. 將2的左子樹做爲1的右子樹（維護樹的有序性，只是此處爲NULL而已）
ii. 將1做爲2的左子樹
iii. 將2做爲3的左子樹
第二以原樹的根，即3爲中心，向右旋轉。最後結果以下
旋轉後，1,2,3的平衡因子變爲0(無需記憶)。再次發表我的意見，平衡因子要用到的時候推一下就行了。
2. 右子樹太高
a) RR型
仍是引用一下以前的例子。旋轉的步驟以下。旋轉以後爲「原來根結點的右孩子做爲新的根結點」。
i. 將2做爲根結點
ii. 將1做爲2的左孩子
iii. 將2的左孩子做爲1的右孩子（維護樹的有序性，只是此處爲NULL而已）
最後1,2,3的平衡因子都爲EH。
b)RL型
仍是引用一下以前的例子。與LR型相似，咱們須要進行兩次旋轉。旋轉以後爲「原來根結點的右孩子的左孩子做爲新的根結點」。
第一，以根結點的右孩子即3爲中心向右旋轉，結果以下。具體步驟以下
i. 將2做爲1的右孩子
ii. 將3做爲2的右孩子
iii. 將2的右孩子做爲3的左孩子（維護樹的有序性，只是此處爲NULL而已）
第二，以原根結點即1，做爲中心，向左旋轉。結果以下。具體步驟以下
i. 將2做爲根結點
ii. 將1做爲2的左孩子
iii. 將2的左孩子做爲1的右孩子（維護樹的有序性，只是此處爲NULL而已）
最後1,2,3的平衡因子都會EH
三、 插入時失衡與調整的總結
- 在全部的不平衡狀況中，都是按照「尋找最小不平衡樹」->「尋找所屬的不平衡類別」->「根據4種類別進行固定化程序的操做」。
- LL,LR，RR，RL其實已經爲咱們提供了最後哪一個結點做爲新的根指明瞭方向。如LR型最後的根結點爲原來的根的左孩子的右孩子，RL型最後的根結點爲原來的根的右孩子的左孩子。咱們只要記住這四種狀況，能夠很快地推導出全部的狀況。
- 維護平衡二叉樹，最麻煩的地方在於平衡因子的維護。想要熟悉這個過程，建議讀者多多畫圖，在感官上首先體驗這個過程。
說到這裏，咱們已經瞭解了了解了什麼是平衡二叉樹，插入結點後如何調整平衡二叉樹。咱們數據結構中常常講到的有增刪查改，那麼下面咱們來說解一下如何刪除。
AVL樹的刪除時的失衡與調整
今天心血來潮想要寫這篇博客的緣由主要就在於此。我在網上找了許久，不少人對於AVL樹的查找，插入都講解得很是精彩，可是刪除的時候卻常常貼出一段代碼，比較少有講解，對於我等須要完成做業的學生實在難受，完成做業後就但願可以與你們分享一下。咳咳，咱們迴歸正題。前方高能，喝口水，看一下窗外帥哥美女再繼續看吧。
1、 預備知識
1. 樹的刪除
假若有一棵二叉查找樹以下，咱們對它進行中序遍歷，能夠獲得1, 2, 2.5, 3。咱們發現，這是一個遞增的序列。假如咱們如今要刪除的結點爲3，在不考慮樹的平衡問題時，應該哪一個結點來做爲頂替3的位置呢呢？答案是：對排序二叉樹進行中序遍歷時，3的直接前驅或者直接後驅。在這裏，就是2.5，因此刪除後，不進行調整的結果如中間圖。假如咱們如今要刪除的結點爲2，在不考慮樹的平衡問題時，1頂替2的位置（假設左孩子優先於右孩子）。最後以下右圖。
具體的步驟以下：
i. 尋找到要刪除的結點（3）
ii. 將待刪除結點的直接前驅或者直接後驅賦值給待刪除結點（2.5賦值給3結點）
iii. 將直接前驅或者直接後驅刪除（將葉子結點的2.5刪除）
因爲咱們今天主要講的是平衡二叉樹的平衡調整，因此這部分就權當給讀者惡補一下。假如讀者仍是不能理解，請先查看一下二叉查找樹的刪除，再繼續往下看。
2. 平衡因子的預告
咱們已經知道，平衡因子有且僅有三種取值，LH,RH,EH。對於以下的一棵樹，刪除一個結點後
a) 本來樹左右子樹等高。根平衡因子的取值變化爲EH->LH,EH->RH。
b) 本來樹左右子樹不等高，在較高的子樹上進行刪除，根平衡因子的取值變化爲LH->EH,RH->EH。須要注意的是，當根的平衡因子變化爲LH->EH,RH->EH時整棵樹的高度是降低的。最簡單的例子以下。如下兩棵樹，分別刪除1,3後，平衡因子LH->EH,RH->EH。最後樹的高度都降低了。
c) 本來樹左右子樹不等高，在較低的子樹上進行刪除，此時須要對樹進行平衡處理。以下刪除告終點1，獲得右邊的不平衡樹。
3. 什麼會致使樹高下降
a) 如第2點的的第b項，根的平衡因子由LH->EH,RH->EH時整棵樹的高度是降低的。
b) 創建在a點以及平衡處理正確的基礎上，對樹進行正確的平衡處理後，樹高會下降。爲何呢？由於其實最小不平衡子樹進行旋轉後，最小不平衡子樹根的平衡因子老是變
爲EH，或者說，平衡調整老是下降了最小不平衡子樹的高度。舉例以下。樹的高度由原來的3變爲了2.
2、 正式進入AVL樹的刪除與調整
1. 刪除結點致使平衡二叉樹失衡
AVL樹也是一棵二叉查找樹，因此它的刪除也是創建在二叉查找樹的刪除之上的，只是，咱們須要在不平衡的時候進行調整。而咱們在預備知識的第2點中的C項中已經說起到，假如咱們在較低的子樹上進行刪除，將會直接致使不平衡樹的出現。那麼，咱們須要進行平衡處理的，就在於此種狀況。舉個栗子。
2. 調整不平衡子樹後，致使了更大的不平衡子樹
假設最小不平衡子樹爲A，它爲雙親結點b的左子樹，而b的平衡因子爲RH。假設咱們如今對A進行了平衡處理，如上所講，進行平衡處理將致使樹高下降。即咱們讓b較矮的子樹變得更矮了。此時對於b而言，一樣也是不平衡的。此時，咱們須要再一次進行一次平衡處理。舉個栗子以下。
假設咱們刪除告終點6.那麼最小不平衡子樹就是1,3，5對應的二叉樹。它的雙親10的平衡因子爲RH。咱們首先對最小不平衡子樹進行調整，結果如右圖。咱們發現，最小不平衡子樹從根結點的左子樹變成了整棵樹，因此這個時候咱們又要進行一次平衡調整。具體的平衡調整步驟與插入時是一致的，在這裏就贅述。
在講解插入新的結點進行平衡時，說到刪除時與插入時不有着很大的不一樣就在於此。插入時，進行一次平衡處理，整棵樹都會處於平衡狀態，而在刪除時，須要進行屢次平衡處理，才能保證樹處於平衡狀態。
細心的朋友可能發現，上面右圖中，最小不平衡子樹的較高子樹的平衡因子爲EH。這個時候，就出現了前面插入時說起的不可能出現的失衡狀況。
3. 失衡與調整的最後一種狀況LE與RE
LE與RE型的失衡樹，在進行調整的時候，和LL與RR型的旋轉方式是一致的。只是最後初始根結點的平衡因子不爲EH而已。就拿上面的例子而言，調整後的結果以下。初始根結點的平衡因子爲RH。相對應的，假如是LE的狀況，調整後初始根結點的平衡因子爲LH。