算法第三章實踐報告

1.實踐題目：數字三角形 

 

2.問題描述：

　　給定一個由 n行數字組成的數字三角形以下圖所示。試設計一個算法，計算出從三角形 的頂至底的一條路徑(每一步可沿左斜線向下或右斜線向下)，使該路徑通過的數字總和最大。

 

3.算法描述：

　　首先，將這個數字三角形存儲在一個二維數組num[n+1][n+1]中，且採用左下角的直角三角形的方式存儲（第0行和第0列儲存爲0，方便操做）。例如，將PTA上的樣例輸入存儲爲以下所示：

　　0  0  0  0  0  0

　　0  7  0  0  0  0
　　0  3  8  0  0  0
　　0  8  1  0  0  0
　　0  2  7  4  4  0
　　0  4  5  2  6  5

　　而後，第1行第1列（7）開始從上到下遍歷，並將它置爲它上方的數及左上方的數的較大值與它自身的和：num[i][j] = num[i][j] + max(num[i-1][j-1], num[i-1][j]);

　　遍歷完成後，最後一行的數都是它上面的數的較大值的總和，以PTA的樣例輸入爲例，通過上述操做之後該數組變成：

　　0  0   0   0   0   0

　　0  7   0   0   0   0 
　　0 10 15  0   0   0 
　　0 18 16 15  0   0 
　　0 20 25 20 19  0 
　　0 24 30 27 26 24

　　所以所求的最大路徑就是最後一行的最大值。這裏使用簡單求數組最大值的方法找到了最大值爲30：

　　int max = 0;
　　for (int i = 1; i <= n; i++)
　　　　if (num[n][i] > max)
　　　　　　max = num[n][i];

3.算法時間及空間複雜度分析：

　　時間複雜度：該算法在遍歷階段採用了雙層for循環進行遍歷，所以時間複雜度爲O(n^2)。

　　空間複雜度：該算法是直接在原數組上操做的，所以輔助空間較少，空間複雜度爲O(1)。

 

4.心得體會（對本次實踐收穫及疑惑進行總結）

　　這個題目的主要難點在於如何保存數組以及寫出遞推公式。由這個數字三角形的形狀我第一反應是用二叉樹來保存，而後使用中序遍歷或前序遍從來找到最大路徑。但好像沒有預設的二叉樹的數據結構，並且操做也有諸多困難，所以我最後選擇了二維數組。這裏我用行列長度比原長度大1的方式，空出第0行和第0列，主要是爲了遞歸時的方便，不用考慮邊界的問題。好在這道題的遞推公式也不難寫，所以我按本身對動態規劃的印象寫出了num[i][j] = num[i][j] + max(num[i-1][j-1], num[i-1][j])。這道題有一個坑是咱們每每第一反應是「每次分叉都選最大值，那麼結果不就是最大路徑了嗎？」但這實際上是犯了一個常見的錯誤：認爲局部最優解就是總體最優解。例如，樣例輸入中，咱們每次分叉選擇較大值，即7+8+1+7+5=28。但實際上最優解是3+7+8+7+5=30。所以，咱們在解決相似問題的時候，必定要注意這個細節，即局部最優解並不必定等於總體最優解。