有限差分法求導

數字圖像處理中，常常遇到求導的狀況，可是咱們的數字圖像都是離散變量，所以沒法直接對其求導，咱們只能對其近似求導，因此此時咱們能夠採用有限差分求導對其近似求解

有限差分法以變量離散取值後對應的函數值來近似微分方程中獨立變量的連續取值。在有限差分方法中，咱們放棄了微分方程中獨立變量能夠取連續值的特徵，而關注獨立變量離散取值後對應的函數值。可是從原則上說，這種方法仍然能夠達到任意滿意的計算精度。由於方程的連續數值解能夠經過減少獨立變量離散取值的間格，或者經過離散點上的函數值插值計算來近似獲得。這種方法是隨着計算機的誕生和應用而發展起來的。其計算格式和程序的設計都比較直觀和簡單，於是，它在計算數學中使用普遍。

有限差分法的具體操做分爲兩個部分：

1. 用差分代替微分方程中的微分，將連續變化的變量離散化，從而獲得差分方程組的數學形式；

2. 求解差分方程組。

首先咱們直接給出結果，而後在後面進行公式推導：

推導過程：

咱們知道任一f(x)都可將其展開成泰勒公式：

一階泰勒公式展開式爲：

                                                      （1）

咱們將f(xi+h)和f(xi-h)均用泰勒公式展開：

                                                             （2）

                                                             （3）

將（1）和（2）相減，整理可得：

                                                                                                                                           （4）

即證

同理可證                                                                            （5）

一樣咱們能夠利用二階泰勒公式的展開式推出：

                                                                                           （6）

二階泰勒公式的展開式爲：

                                  （7）