線性素數篩選（linear sieve for prime number）

偶然發現了這個和stackoverflow很像的地方。打算寫些專欄，一方面，記錄本身學到的東西。另外一方面，也把這些分享給你們。不管是內容錯誤仍是解釋方式很差，都歡迎各位拍磚。轉載到其餘平臺前也請通知我。

本篇的IDE是Pycharm，使用的是Python 3 的基本interpreter

問題起源

這個問題起源於我在想尋找最大素數的時候誕生的。出現這個問題，一開始的想法是經過暴力破解來達成目的，舉例的話，就以尋找第20000個素數開始吧

算法演繹

import time

def func(num):
    # since once i larger than num//2, num will not be divisible by any i increment
    for i in range(2, num//2+1):
        if num % i == 0:
            return 0
    return 1

def find_prime():
    num = 1
    count = 0
    # find the 20000th prime in the world!
    primeCount = 20000
    while count < primeCount :
        num += 1
        count = func(num)+count
    return num

# count time
start = time.time()
num = find_prime()
end = time.time() -start
print("find %s in %s seconds" % (num,end))

結果是:

find 224737 in 151.33826684951782 seconds

Process finished with exit code 0

151秒，感受花了好長時間，顯然這不是一個有效率的方法。

算法分析

因爲咱們每次尋找的素數時，都從2開始，逐漸上除，最後到num/2爲止，確認是不是素數。那所用的效率就是
$$ O(N^2) $$

查找了一些文獻之後，看到了一種方法:線性素數篩選:埃拉託斯特尼篩法（Sieve of Eratosthenes）

在每次咱們肯定素數的時候，將其以後的有關合數進行排除，每一次在尋找下個素數時，必然能一次性找到，而不用逐漸去加1來尋找。接着繼續排除其有關合數。那這樣所用效率就變成了
$$O(N*log(log(N)))$$
這裏第一個N來自於尋找下個素數，而log(log(N)來自於尋找各個素數的合數，而這個算法，也須要一個$$O(N)$$的存儲空間，我這裏用了5000000的存儲空間。而這是一個僞的polynomial算法。
wiki中顯示了一種優化方法，能夠在$$O(N)$$中完成，但相對的須要$$O(n^{1/2}\log\log n/\log n)$$的存儲空間。這裏給予連接，Paul Pritchard

算法演繹

def fast_find_prime(n,limit =5000000):
    if limit %2 != 0 :
        limit+=1
    # Assume all numbers are prime number
    primes = [True] *limit
    # Eliminate 0 and 1
    primes[0], primes[1] = [None] *2
    # set count
    count = 0
    # enumerate numbers
    for ind, val in enumerate(primes):
        if val is True:
            # set number false when it is not prime
            # ind will skip not prime numbers
            primes[ind*2::ind] = [False] * (((limit-1)//ind)-1)
            count += 1
        if count == n: return  ind
    return False

#count time
start = time.time()
num = fast_find_prime(20000)
end = time.time() -start
print("find %s in %s seconds" % (num,end))

結果爲：

find 224737 in 0.427901029586792 seconds

Process finished with exit code 0

0.4秒，很是迅速。

相關算法

在論壇中提到過一種 Sieve of Atkin 的算法。在速度上有略微提高，可是它的算法是主動忽略二、三、5的相關合數，實際意義並非很大。有興趣的同窗也能夠看一下。

無關問題

===============================這裏是與主題無關的分割線===============================

初用segment fault感受仍是不太同樣，在之前的寫博客習慣下，隨便試了一些方法，除了tab以外尚未找到特別有趣的特殊格式。特別例如平方號等特殊符號，沒可以實驗出來。官方是否能出一份文章特殊符號和格式的使用說明呢？

以上問題，很是感謝高陽sunny的迅速回復，祝segment fault越辦越出衆！

一欄一槽

===============================這裏是與上述都無關的分割線===============================

據說一位同窗要去人民大學讀研，去寒暄了一下：
「你要去人大？」
「恩」
「何時去當常委？dog rich, don't forget!」
「......」
因而我回到美帝之後，發現又遭到報應性冷空氣了。。。

14年時初，拜訪康村，和cornell的同窗冒着雪天，黃昏時分在康村取景拍下的照片