min-max容斥學習筆記

min-max容斥學習筆記

• 前置知識

  二項式反演

  \[f(n)=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}g(i)\Leftrightarrow g(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}f(i) \]

• 一些定義

  \(\max (S),\min (S)\)表示分別集合\(S\)的最大，最小元素

• 套路式子

  \[\max(S)=\sum_{\varnothing\not=S\subseteq T}(-1)^{|T|-1}\min(T) \]

• 證實

  首先咱們先設一個容斥係數\(f(x)\)

  \[\max(S)=\sum_{\varnothing\not=S\subseteq T}f(|T|)\min(T) \]

  設集合\(S\)有\(n\)個元素，咱們討論第\(k\)小元素的貢獻

  \[\sum_{i=0}^{n-k}\binom{n-k}{i}f(i+1)=[n-k=0] \]

  就是當這個元素成爲最小值時另外再選幾個比它要大的元素的方案，若是這個元素不是最大元素，要求不貢獻

  設

  \[F(n)=f(n+1),G(n)=[n=0] \]

  上式爲

  \[G(n)=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}F(i) \]

  由二項式反演

  \[F(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}G(i) \]

  代回去

  \[\begin{aligned} f(n+1)&=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}[i=0]\\ &=(-1)^n\\ f(n)&=(-1)^{n-1} \end{aligned} \]

  因此有

  \[\max(S)=\sum_{\varnothing\not=S\subseteq T}(-1)^{|T|-1}\min(T) \]

• 用處

  在指望意義下，這個式子依然成立，即

  \[E(\max(S))=\sum_{\varnothing\not=S\subseteq T}(-1)^{|T|-1}E(\min(T)) \]

  下面給幾個例題

• 例題

  • HDU4336

    題意：有\(n\)個卡牌，每秒有\(p_i\)的機率抽到卡牌\(i\)，求至少獲得每一個卡牌至少一張的指望時間

    min-max容斥有個套路思想就是化max爲min，由於min通常比較好統計

    令\(\max (S)\)表示集合\(S\)中最後一個得到元素的指望時間，\(\min (S)\)表明集合\(S\)中第一個得到元素的指望時間

    那麼有上面的套路式子

    \[\max(S)=\sum_{\varnothing\not=S\subseteq T}(-1)^{|T|-1}\min(T) \]

    \(\min (T)\)就很是好求了

    \[\min(T)=\frac{1}{\sum_{i\in T}p_i} \]

    就是先把總機率算一下的事情

  • 「HAOI2015」按位或

    題意：初始有一個數\(0\)，每秒有\(p_i\)的機率或(|)上整數\(i(i\in [0,2^n))\)，求指望多少秒後數組變成\(2^n-1\)

    令\(\max(S)\)表示最後一個或上去的指望時間，\(\min(S)\)同理

    式子隨便套，考慮求出\(\min(T)\)

    \[\min(T)=\frac{1}{\sum_{S\cap T\not=\varnothing}p_S} \]

    考慮求底下的東西

    \[\begin{aligned} \sum_{S\cap T\not=\varnothing}p_S&=\sum_{S\subseteq U} p_S-\sum_{S\cap T=\varnothing}p_S\\ &=\sum_{S\subseteq U}p_S-\sum_{\overline S\cup T=\overline S}p_S \end{aligned} \]

    後面的東西取補集後是子集和的形式，咱們能夠\(FWT\)或者\(FMT\)在\(2^nn\)內求出

  • 「PKUWC2018」隨機遊走

    題意：樹上隨機遊走，給定起點，每次詢問至少走過一次點集的指望時間

    直接套路上去考慮如何求\(\min (T)\)，即第一次到達給定點集的指望步數

    令\(dp_u\)表示\(u\)走到給定點集\(S\)的指望步數，\(d_u\)爲\(u\)點度數

    若\(u\in S,dp_u=0\)

    不然

    \[\begin{aligned} dp_u&=\frac{dp_{fa}}{d_u}+\frac{\sum dp_v}{d_u}+1\\ &=A_udp_{fa}+B_u \end{aligned} \]

    就先把環狀的轉移和其餘的分開搞一下，那麼

    \[dp_u=\frac{dp_{fa}}{d_u}+\frac{\sum A_vdp_u+B_v}{d_u}+1 \]

    化簡一下

    \[(1-\frac{\sum A_v}{d_u})dp_u=\frac{dp_{fa}}{d_u}+\frac{\sum B_v}{d_u}+1 \]

    把左邊除過去就能夠了

    這樣的話咱們能夠\(n2^n\log 998244353\)處理出每一個集合的\(\min(S)\)了，仍然能夠預處理子集和

• kthmax-min容斥

  \[kthmax(S)=\sum_{\varnothing\not=T\subseteq S}(-1)^{|T|-k}\binom{|T|-1}{k-1}\min(T) \]

  \(kthmax(S)\)表示集合中第\(k\)大的元素

  證實起來和普通的差很少

  設一個容斥係數\(f(n)\),統計\(n\)個元素中第\(x\)小的貢獻

  \[\sum_{i=0}^{n-x}\binom{n-i}{i}f(i+1)=[n-x+1=k]\\ \sum_{i=0}^n\binom{n}{i}f(i+1)=[n=k-1]\\ f(n+1)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}[i=k-1]\\ f(n)=(-1)^{n-k}\binom{n-1}{k-1} \]

  • 例題

    重返現世

    題解

• 參考資料

  【Learning】min-max容斥以及推廣kth min-max容斥

  min-max容斥