容斥 反演 學習筆記

目錄

• 容斥 反演 學習筆記
  • 最基本的容斥
  • 更通常的容斥
  • 二項式反演
  • 斯特林反演
  • 莫比烏斯反演

容斥 反演 學習筆記

Tags: 數學，數論

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參考：
https://blog.csdn.net/werkeytom_ftd/article/details/74701513
https://www.luogu.org/blog/KingSann/chu-tan-rong-chi-yuan-li
https://ac.nowcoder.com/discuss/184169?type=101&order=0&pos=10&page=1

這裏只是簡單整理一下，方便複習。（也沒多少東西... 由於沒時間補了）
也能夠看這裏。

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最基本的容斥

有\(n\)種屬性，若干個物品，每一個物品可能有這\(n\)種屬性的若干種。假設咱們能夠容易地計算出\(f(S)\)表示屬性中至少包含\(S\)集合的物品個數。求至少有\(1\)種屬性的物品個數。（就是最經典的模型，有三科語數英，已知語數英各有多少人滿分，語數、數英、語英分別有多少人同時滿分，有多少人三科都滿分，求至少有一科滿分的人有多少）
不知道爲何反正咱們知道，答案是\(\sum_{s\in S}(-1)^{|s|+1}f(s)\)（\(s\)爲全部科目的子集，\(f(s)\)爲\(s\)中全部科目都滿分的人數）。
考慮它爲何是對的。對於一個有\(n\)種屬性的物品，當\(n=0\)時，顯然不會被計算。咱們須要證實，\(n>0\)時，它會被剛好計算一次。
不難發如今枚舉\(i\)種屬性（大小爲\(i\)的\(s\)）時，它會被計算\(C_n^i\)次。因此它被統計的次數\(=\sum_{i=1}^nC_n^i(-1)^{i+1}=1\)（把一個\(-1\)提出來，補一個\(C_n^0\)，二項式定理一下）。

更通常的容斥

有\(n\)種屬性，若干物品。假設咱們能夠容易地計算出，\(g(S)\)表示包含\(S\)集合的物品個數。且給定\(w(k)\)表示，當物品擁有\(k\)個屬性時它的價值是多少。求因此物品的價值和。、
咱們須要肯定一個容斥係數\(f(k)\)，使得\(Ans=\sum_{s\in S}g(s)f(|s|)\)。
同上，考慮令每一個物品被算入的貢獻等於咱們想要的數。即對於一個擁有\(k\)種屬性的物品，須要知足\[\sum_{i=1}^kC_k^if(i)=w(k)\]

\(f(i)\)是能夠遞推的。假設已知\(f(1)...f(k-1)\)，\[\sum_{i=1}^kC_k^if(i)=w(k)\ \Rightarrow\ f(k)=w(k)-\sum_{i=1}^{k-1}C_k^if(i)\]

複雜度是\(O(n^2)\)的。
把階乘展開發現大概能寫成一個卷積形式，能夠多項式求逆作到\(O(n\log n)\)。也能夠反演去推。（見上面連接）
固然大部分題中是用\(O(n^2)\)/手推來找規律算的。

例題：「玲瓏杯」 線上賽 Round#17 B 當鹹魚也要按照基本法，4.27模擬賽 A。
下面是第一道例題：
\(Description\)
給定\(m\)個數\(A_i\)和\(n\)。求\(1\sim n\)中有多少個數能被奇數個\(A_i\)整除。
\(T\leq 1000\)組數據，\(n\leq10^5,\ m\leq15\)。
\(Solution\)
至少整除某個\(A_i\)集合的數有多少個很好算，因此考慮容斥。設容斥係數是\(f(i)\)，答案是\(\sum_{s\in S}f(|s|)\lfloor\frac{n}{lcm(s)}\rfloor\)。
對於被\(k\)個數整除的數，有\(\sum_{i=1}^kC_k^if(i)=k\ \text{mod}\ 2\)。能夠\(O(m^2)\)遞推或者打表得出\(f(i)\)（固然有規律是\(f(i)=(-2)^{i-1}\ (i\neq0)\)）。而後就作完啦。

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下面只是一些要背的式子

二項式反演

\[f(n)=\sum_{i=0}^nC_n^ig(i)\ \Leftrightarrow\ g(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}C_n^if(i)\]

例題：[BZOJ3622]已經沒有什麼好懼怕的了。
PS：已經不知道哪年能補上題目了。

斯特林反演

\[f(n)=\sum_{i=0}^n{n\brace i}g(i)\ \Leftrightarrow\ g(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}f(i)\]

例題：[BZOJ4671]異或圖，雅禮集訓18.1.16 方陣。

莫比烏斯反演

\[F(d)=\sum_{d\mid n}f(d)\ \Leftrightarrow\ f(d)=\sum_{d\mid n}\mu(\frac nd)F(n)\\F(n)=\sum_{d\mid n}f(d)\ \Leftrightarrow\ f(n)=\sum_{d\mid n}\mu(\frac nd)F(d)\]