B樹、B-樹、B+樹、B樹都是什麼

  

B樹、B-樹、B+樹、B*樹都是什麼

 

B樹

       即二叉搜索樹：

       1.全部非葉子結點至多擁有兩個兒子（Left和Right）；

       2.全部結點存儲一個關鍵字；

       3.非葉子結點的左指針指向小於其關鍵字的子樹，右指針指向大於其關鍵字的子樹；

       如：

       

      B樹的搜索，從根結點開始，若是查詢的關鍵字與結點的關鍵字相等，那麼就命中；不然，若是查詢關鍵字比結點關鍵字小，就進入左兒子；若是比結點關鍵字大，就進入右兒子；若是左兒子或右兒子的指針爲空，則報告找不到相應的關鍵字；

       若是B樹的全部非葉子結點的左右子樹的結點數目均保持差很少（平衡），那麼B樹的搜索性能逼近二分查找；但它比連續內存空間的二分查找的優勢是，改變B樹結構（插入與刪除結點）不須要移動大段的內存數據，甚至一般是常數開銷；

       如：

      

   但B樹在通過屢次插入與刪除後，有可能致使不一樣的結構：

  右邊也是一個B樹，但它的搜索性能已是線性的了；一樣的關鍵字集合有可能致使不一樣的樹結構索引；因此，使用B樹還要考慮儘量讓B樹保持左圖的結構，和避免右圖的結構，也就是所謂的「平衡」問題；      

       實際使用的B樹都是在原B樹的基礎上加上平衡算法，即「平衡二叉樹」；如何保持B樹結點分佈均勻的平衡算法是平衡二叉樹的關鍵；平衡算法是一種在B樹中插入和刪除結點的策略；

 

B-樹

       是一種多路搜索樹（並非二叉的）：

       1.定義任意非葉子結點最多隻有M個兒子；且M>2；

       2.根結點的兒子數爲[2, M]；

       3.除根結點之外的非葉子結點的兒子數爲[M/2, M]；

       4.每一個結點存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1個關鍵字；（至少2個關鍵字）

       5.非葉子結點的關鍵字個數=指向兒子的指針個數-1；

       6.非葉子結點的關鍵字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；

       7.非葉子結點的指針：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向關鍵字小於K[1]的子樹，P[M]指向關鍵字大於K[M-1]的子樹，其它P[i]指向關鍵字屬於(K[i-1], K[i])的子樹；

       8.全部葉子結點位於同一層；

       如：（M=3）

      B-樹的搜索，從根結點開始，對結點內的關鍵字（有序）序列進行二分查找，若是命中則結束，不然進入查詢關鍵字所屬範圍的兒子結點；重複，直到所對應的兒子指針爲空，或已是葉子結點；

B-樹的特性：

       1.關鍵字集合分佈在整顆樹中；

       2.任何一個關鍵字出現且只出如今一個結點中；

       3.搜索有可能在非葉子結點結束；

       4.其搜索性能等價於在關鍵字全集內作一次二分查找；

       5.自動層次控制；

       因爲限制了除根結點之外的非葉子結點，至少含有M/2個兒子，確保告終點的至少利用率，其最底搜索性能爲：

    

       其中，M爲設定的非葉子結點最多子樹個數，N爲關鍵字總數；

       因此B-樹的性能老是等價於二分查找（與M值無關），也就沒有B樹平衡的問題；

       因爲M/2的限制，在插入結點時，若是結點已滿，須要將結點分裂爲兩個各佔M/2的結點；刪除結點時，需將兩個不足M/2的兄弟結點合併；

 

B+樹

       B+樹是B-樹的變體，也是一種多路搜索樹：

       1.其定義基本與B-樹同，除了：

       2.非葉子結點的子樹指針與關鍵字個數相同；

       3.非葉子結點的子樹指針P[i]，指向關鍵字值屬於[K[i], K[i+1])的子樹（B-樹是開區間）；

       5.爲全部葉子結點增長一個鏈指針；

       6.全部關鍵字都在葉子結點出現；

       如：（M=3）

   B+的搜索與B-樹也基本相同，區別是B+樹只有達到葉子結點才命中（B-樹能夠在非葉子結點命中），其性能也等價於在關鍵字全集作一次二分查找；

       B+的特性：

       1.全部關鍵字都出如今葉子結點的鏈表中（稠密索引），且鏈表中的關鍵字剛好是有序的；

       2.不可能在非葉子結點命中；

       3.非葉子結點至關因而葉子結點的索引（稀疏索引），葉子結點至關因而存儲（關鍵字）數據的數據層；

       4.更適合文件索引系統；

  

B*樹

       是B+樹的變體，在B+樹的非根和非葉子結點再增長指向兄弟的指針；

   B*樹定義了非葉子結點關鍵字個數至少爲(2/3)*M，即塊的最低使用率爲2/3（代替B+樹的1/2）；

       B+樹的分裂：當一個結點滿時，分配一個新的結點，並將原結點中1/2的數據複製到新結點，最後在父結點中增長新結點的指針；B+樹的分裂隻影響原結點和父結點，而不會影響兄弟結點，因此它不須要指向兄弟的指針；

       B*樹的分裂：當一個結點滿時，若是它的下一個兄弟結點未滿，那麼將一部分數據移到兄弟結點中，再在原結點插入關鍵字，最後修改父結點中兄弟結點的關鍵字（由於兄弟結點的關鍵字範圍改變了）；若是兄弟也滿了，則在原結點與兄弟結點之間增長新結點，並各複製1/3的數據到新結點，最後在父結點增長新結點的指針；

       因此，B*樹分配新結點的機率比B+樹要低，空間使用率更高；

  

小結

       B樹：二叉樹，每一個結點只存儲一個關鍵字，等於則命中，小於走左結點，大於走右結點；

       B-樹：多路搜索樹，每一個結點存儲M/2到M個關鍵字，非葉子結點存儲指向關鍵字範圍的子結點；

       全部關鍵字在整顆樹中出現，且只出現一次，非葉子結點能夠命中；

       B+樹：在B-樹基礎上，爲葉子結點增長鏈表指針，全部關鍵字都在葉子結點中出現，非葉子結點做爲葉子結點的索引；B+樹老是到葉子結點才命中；

       B*樹：在B+樹基礎上，爲非葉子結點也增長鏈表指針，將結點的最低利用率從1/2提升到2/3；

【查找結構5】多路查找樹/B~樹/B+樹

文章分類:綜合技術

在前面專題中講的BST、AVL、RBT都是典型的二叉查找樹結構，其查找的時間複雜度與樹高相關。那麼下降樹高天然對查找效率是有所幫助的。另外還有一個比較實際的問題：就是大量數據存儲中，實現查詢這樣一個實際背景下，平衡二叉樹因爲樹深度過大而形成磁盤IO讀寫過於頻繁，進而致使效率低下。那麼如何減小樹的深度（固然不能減小查詢數據量），一個基本的想法就是：

1. 每一個節點存儲多個元素 （但元素數量不能無限多，不然查找就退化成了節點內部的線性查找了）。

2. 摒棄二叉樹結構，採用多叉樹 （因爲節點內元素數量不能無限多，天然子樹的數量也就不會無限多了）。

這樣咱們就提出來了一個新的查找樹結構 ——多路查找樹。 根據AVL給咱們的啓發，一顆平衡多路查找樹(B~樹) 天然可使得數據的查找效率保證在O(logN)這樣的對數級別上。

 

【2-4樹】

 

(2,4)樹是一棵典型的平衡多路查找樹。性質以下：

1.大小性質：每一個結點最多4個子結點。

2.深度性質：全部外部結點的深度相同。

 

(2,4)實際上是一棵迷你型的B樹，其主要應用並非爲了將大數據量存儲在外存上，而是經過減小樹高來下降二叉查找樹的查找代價。在介紹下面的B~樹/B+樹以前，請你們首先了解一下《外部存儲器—磁盤 》。

 

 

【B~樹】

 

B~樹，又叫平衡多路查找樹。一棵m階的B~樹(m叉樹)的特性以下：

1) 樹中每一個結點至多有m個孩子；

2) 除根結點和葉子結點外，其它每一個結點至少有[m/2]個孩子；

3) 若根結點不是葉子結點，則至少有2個孩子；

4) 全部葉子結點都出如今同一層，葉子結點不包含任何關鍵字信息(能夠看作是外部接點或查詢失敗的接點，實際上這些結點不存在，指向這些結點的指針都爲null)；

5) 每一個非終端結點中包含有n個關鍵字信息：(n，A0，K1，A1，K2，A2，......，Kn，An)。其中，

     a)   Ki (i=1...n)爲關鍵字，且關鍵字按順序排序Ki < K(i-1)。

     b)   Ai爲指向子樹根的接點，且指針A(i-1)指向子樹種全部結點的關鍵字均小於Ki，但都大於K(i-1)。

     c)  關鍵字的個數n必須知足： [m/2]-1 <= n <= m-1

 

例如：下面就是一棵3階B~樹

(爲了簡單，這裏用少許數據構造一棵2-4樹的形式，其實實際應用中的B樹結點中關鍵字不少的)

 

B~樹的創建

因爲B~樹結點中的關鍵字個數必須>=[m/2]-1。所以和平衡二叉樹不一樣，每一次插入一個關鍵字並非在樹中添加一個結點，而是首先在最低層的某個非終端結點中添加一個關鍵字，若該結點的關鍵字個數不超過m-1，則插入完成。不然，要產生結點的"分裂" 。

關於B~樹以及後面B+樹的插入，刪除操做，在《數據結構算法與應用-搜索樹 》中有詳細講解。

 

關於文件目錄索引的B~樹 磁盤 存儲結構及其查詢過程

既然咱們說過B~樹相比平衡二叉樹的一個巨大的特色就是：海量數據存儲時B~樹利用磁盤存儲的效率會高不少。那麼咱們如今就來簡單的看看操做系統中文件目錄的B~樹結構是怎樣的(這裏只介紹簡單的原理，至於想Windows,Linux的文件系統使用的是B+樹結構，並且技術遠遠比這裏介紹的複雜)。

 

首先，咱們構造一個B樹結點的信息：

Java代碼 

1. class BTNode<E extends Comparable<E>>{  

2.   

3.          // 結點中文件個數  

4.          int  filenum;    

5.          //子樹的根結點指針向量  

6.          BTNode[]  ptr=new BTNode(filenum+1);    

7.          //文件名向量   

8.          E[] filename=new E(filenum);   

9.          // 指向磁盤中文件存儲地址向量  

10.          FileHardAddress[]   recptr=new FileHardAddress(filenum);  

11.            

12. }  

     上面的圖中好比根結點，其中17表示一個磁盤文件的文件名；小紅方塊表示這個17文件的內容在硬盤中的存儲位置；p1表示指向17左子樹的指針。

     咱們如今把整棵樹構造在磁盤中，假如每一個盤塊能夠正好存放一個B~樹的結點（正好存放2個文件名）。那麼一個BTNode結點就表明一個盤塊，而子樹指針就是存放另一個盤塊 （詳細見《外部存儲器—磁盤 》）的地址。

      如今咱們模擬查找文件29的過程：

      (1)根據根結點指針找到文件目錄的根磁盤塊1，將其中的信息導入內存。【磁盤IO操做1次】

      (2)此時內存中有兩個文件名17，35和三個存儲其餘磁盤頁面地址的數據。根據算法咱們發現17<29<35，所以咱們找到指針p2。

      (3)根據p2指針，咱們定位到磁盤塊3，並將其中的信息導入內存。【磁盤IO操做2次】

      (4)此時內存中有兩個文件名26，30和三個存儲其餘磁盤頁面地址的數據。根據算法咱們發現26<29<30，所以咱們找到指針p2。

      (5)根據p2指針，咱們定位到磁盤塊8，並將其中的信息導入內存。【磁盤IO操做3次】

      (6)此時內存中有兩個文件名28，29。根據算法咱們查找到文件29，並定位了該文件內存的磁盤地址。

 

     分析一下上面的過程，咱們發現須要3次磁盤IO操做和3次內存查找操做。關於內存中的文件名查找，因爲是一個有序表結構，能夠利用折半查找提升效率。至於3次磁盤IO操做時影響整個B~樹查找效率的決定因素。

     固然，若是咱們使用平衡二叉樹的磁盤存儲結構來進行查找，磁盤IO操做最少4次，最多5次。並且文件越多，B~樹比平衡二叉樹所用的磁盤IO操做次數將越少，效率也越高。

 

 

【B+樹】

 

 

B+樹：是應文件系統所需而產生的一種B~樹的變形樹。 一棵m階的B+樹和m階的B-樹的差別在於：

1)有n棵子樹的結點中含有n個關鍵字；  (B~樹是n棵子樹有n+1個關鍵字)
2)全部的葉子結點中包含了所有關鍵字的信息，及指向含有這些關鍵字記錄的指針，且葉子結點自己依關鍵字的大小自小而大的順序連接。 (B~樹的葉子節點並無包括所有須要查找的信息)

3)全部的非終端結點能夠當作是索引部分，結點中僅含有其子樹根結點中最大（或最小）關鍵字。 (B~樹的非終節點也包含須要查找的有效信息)

例如：下面就是一棵3階B+樹。咱們能夠和B~樹作一個明顯的對比.

 

下面咱們用另一個圖來看一下B+樹葉子節點和非終節點的特色：

上面這個圖有一個很重要的性質：B+樹的葉子結點包含了全部待查詢關鍵字，而非終節點只是做爲葉子結點中最大(最小)關鍵字的索引。所以B+樹的非終結點沒有文件內容所在物理存儲的地址，而B~樹全部結點均有文件內容所在的磁盤物理地址（B~樹結構圖中結點內部的小紅方塊）。 這個特色是B+樹的一個重要優點所在。這一點咱們在下面談及。

 

關於FOXPRO索引文件的B+樹磁盤存儲結構及其查詢

B+樹在數據庫，文件系統的索引結構中是十分經常使用的。關於B+樹的磁盤存儲能夠參見上面B~樹的狀況，其一個結點用一個磁盤塊存儲。在這裏咱們對FOXPRO索引文件作一個簡單的介紹，讓你們對B+樹的磁盤存儲有一個大體的瞭解。

 

FOXPRO的索引文件（後綴IDX）由索引文件頭和索引文件體組成。

文件頭佔一個塊,相對於索引文件的物理零塊號,它描述索引文件的組織信息,包括索引樹的根結點位置,索引關鍵字表達式及索引關鍵字長度.其有用字節的含義以下表：

字節	內容
0-3	標識根結點所在塊號
4-7	保留
8-11	索引文件總塊數
12	索引文件的關鍵字長度
16	索引關鍵字表達式(以ASCII碼存放）

索引文件體從索引文件的相對物理塊號爲1的塊開始,文件體的每塊也就是索引樹的一個結點。其中重要的是索引項。索引項=關鍵字+指針域(4字節)。這就是咱們上面常說的B+樹結點中的兩個重要的信息：待查詢關鍵字和指向另外一個結點的指針。文件體每塊含義以下表：

字節	內容
0	塊屬性標記.00H:非葉結點和根結點.01H:根結點,02H:葉結點.03H:既是根結點又是葉結點.
1	00H
2,3	塊內索引項總數 (多個索引項)
4-7	同一層前繼結點塊號或4個FFFF值
8-11	同一層後繼結點塊號或4個FFFF值
12-	非遞減順序存放的索引項內容

B+樹的查找與B~樹相似。但一般B+樹有兩個頭指針，一個指向根結點。另外一個指向關鍵字最小的葉子節點。此外，全部葉子結點也按照大小順序連接。所以，B+樹有兩種查找算法：一種從根結點出發，一種從葉子結點出發的順序查找。

 

B+樹的優點所在

 

爲何說B+樹比B~樹更適合實際應用中操做系統的文件索引和數據庫索引？

 

1、B+樹的磁盤讀寫代價更低

 

咱們都知道磁盤時能夠塊存儲的，也就是同一個磁道上同一盤塊中的全部數據均可以一次所有讀取(詳見《 外部存儲器—磁盤 》 )。而B+樹的內部結點並無指向關鍵字具體信息的指針(好比文件內容的具體地址 ， 好比說不包含B~樹結點中的FileHardAddress[filenum]部分） 。所以其內部結點相對B~樹更小。若是把全部同一內部結點的關鍵字存放在同一盤塊中，那麼盤塊所能容納的關鍵字數量也越多。這樣，一次性讀入內存中的須要查找的關鍵字也就越多。相對來講IO讀寫次數也就下降了。

 

舉個例子，假設磁盤中的一個盤塊容納16bytes，而一個關鍵字2bytes，一個關鍵字具體信息指針2bytes。一棵9階B~樹(一個結點最多8個關鍵字)的內部結點須要2個盤快。而B+樹內部結點只須要1個盤快。當須要把內部結點讀入內存中的時候，B~樹就比B+數多一次盤塊查找時間(在磁盤中就是盤片旋轉的時間)。

 

 

2、B+樹的查詢效率更加穩定。

 

因爲非終結點並非最終指向文件內容的結點，而只是葉子結點中關鍵字的索引。因此任何關鍵字的查找必須走一條從根結點到葉子結點的路。全部關鍵字查詢的路徑長度相同，致使每個數據的查詢效率至關。