費馬小定理求逆元 以及求逆元廣泛式子總結

費馬小定理(Fermat Theory)

假如p是質數，且(a,p)=1，那麼 a^(p-1)≡1（mod p）。即：假如a是整數，p是質數，且a,p互質(即二者只有一個公約數1)，那麼a的(p-1)次方除以p的餘數恆等於1。

 

當涉及取模運算的計算中，若是有除法，不能直接除以一個數，而應該變成乘以它的乘法逆元。

當咱們除以一個數n時，也就是乘上1/n，若x是1/n關於模N的逆元，則x=1/n (mod N)，即 x*n=1(mod N)。因爲咱們作題時N經常爲1000000007，而1000000007是個素數，

因此它知足了費馬小定理，而知足費馬小定理說明解惟一，因此咱們能夠直接得出x*n=n^(N-1)。那麼x=n^(N-2),即爲1/n關於模N的乘法逆元

 

求出乘法逆元 （快速冪處理） a^b

 1 ll quickmod(ll a,ll b)
 2 {
 3     ll sum=1;
 4     while(b)
 5     {
 6         if(b&1)
 7             sum=(sum*a)%mod;
 8         b>>=1;
 9         a=(a*a)%mod;
10     }
11     return sum;
12 }

 

拓展歐幾里得

擴展歐幾里德算法是用來在已知a, b求解一組x，y，使它們知足貝祖等式： ax+by = gcd(a, b) =d（解必定存在，根據數論中的相關定理）。擴展歐幾里德經常使用在求解模線性方程及方程組中

擴展歐幾里得。aa^-1≡ 1(mod p)，能夠轉換爲aa^-1 + py = 1，便是擴展歐幾里得所能解的ax + by = gcd(a, b)。最經常使用的解法。

 1 int x, y;
 2 int extgcd(int a, int b, int &x, int &y)
 3 {
 4     if (b == 0){
 5         x = 1;
 6         y = 0;
 7         return a;
 8     }
 9     int gcd = exgcd(b, a % b, x, y);
10     int tmp = x;
11     x = y;
12     y = tmp - (a/b) * y;
13     return gcd;
14 }
15 
16 /*
17 求解ax+by=gcd(a,b)，亦即ax≡1(mod b)。函數返回值是a,b的最大公約數，而x即a的逆元。
18 注意a, b不能寫反了。
19 */

 

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可是你會發現費馬小定理和擴展歐幾里得算法求逆元是有侷限性的，它們都會要求與互素。實際上咱們還有一

種通用的求逆元方法，適合全部狀況。公式以下

 

         

 

如今咱們來證實它，已知，證實步驟以下

 

         

m*b若是爆int 須要使用快速冪