CSP-S 初賽問題求解與選擇題

# CSP-S 初賽問題求解與選擇題

## 時間複雜度計算

公式：對於 $T(n) = a \times T(\dfrac{n}{b})+O(n^d)$ 這個遞推式，其時間複雜度爲：
$$
T(n) =
\begin{cases}
O(n^{\log_b a}) , \ a > b^d \\
\\
O(n^d \lg n) , \ a = b^d \\
\\
O(n^d) , \ a<b^d
\end{cases}
$$

## 鴿巢原理

### 基本定義

如有 $n$ 個鴿巢，$n+1$ 只鴿子，則至少有一個鴿巢裏至少有兩隻鴿子。

變形：

1. 一年 $365$ 天，今有 $366$ 我的，則其中至少有兩我的生日相同。
2. 抽屜裏有 $10$ 雙手套，從中取 $11$ 只出來，其中至少有兩隻是完整配對的。

### 經典例題

1. （$NOIP \ 2012$ ）若是平面上任取 $n$ 個整點（橫縱座標都是整數），其中必定存在 $2$ 個點，它們連線的中點也是整點，那麼 $n$ 至少是（ ）。

**解：**存在 $2$ 個點中點是整點，要求兩點橫縱座標奇偶性都相同。根據鴿巢原理，$n$ 至少是 $2 \times 2+1=5$

2. 在邊長爲 $1$ 的正方形內任取 $5$ 點，則其中至少有 $2$ 點的距離不超過（ ）。

**解：**以下圖所示，將一個正方形分紅四份，那麼至少有 $2$ 個點在同一個小正方形裏面。在同一個正方形裏面的兩點最長距離即爲 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 。


3. 證實：一位國際象棋大師有 $11$ 周的時間備戰比賽，他決定天天至少下 $1$ 盤棋，但每週不超過 $12$ 盤。則存在連續若干天，他剛好下了 $21$ 盤棋。

**解：**令 $a_i$ 爲到第 $i$ 天下的總盤數，那咱們要證實存在 $i,j$ 知足 $a_i+21=a_j$ 。

​ $\because$ 他天天至少下 $1$ 盤棋

​ $\therefore$ $a_i$ 是單調遞增的

​ $\therefore$ $1 < a_1 < a_2 < \ldots < a_{77} < 11 \times 12=132$

​ $\therefore$ $22 < a_1+21 < a_2+21 < \ldots < a_{77}+21 < 132+21=153$

​ 上下兩式總共有 $153$ 種取值，卻有 $154$ 個數，因此存在 $i < j$ 知足 $a_i+21=a_j$。

### 增強形勢

現有鴿巢 $n$ 個，鴿子 $m_1+m_2+ \cdots +m_n-n+1$ 只，其中 $m_1,m_2, \ldots ,m_n, n \in \N^*$

**結論：**鴿巢 $1$ 鴿子數 $> m_1$，或鴿巢 $2$ 鴿子數 $> m_2$，…… 或鴿巢 $n$ 鴿子數 $> m_n$，至少有一個成立。

### 擴展內容：Erdös-Szekeres 定理

在由 $n^2+1$ 個實數構成的序列中，必然含有長爲 $n+1$ 的單調（增或減）子序列。

 

## Ramsey 問題

命題：$6$ 人中或者至少存在 $3$ 人互相認識，或者至少存在 $3$ 人互相不認識。

等價問題：六個頂點的徹底圖的邊，用紅、藍二色任意着色，則至少存在一紅色邊三角形，或一藍色邊三角形。

 

## 排列組合

### 前置知識

$A_n^n = n! $

$A_n^m = n(n-1)(n-2) \cdots (n-m+1) = \dfrac{n!}{(n-m)!}$

$C_n^m = \dfrac{A_n^m}{A_m^m} = \dfrac{n(n-1)(n-2) \cdots (n-m+1)}{m!} = \dfrac{n!}{m!(n-m)!} $

另外，規定 $C_n^0 = 1$

圓排列（在一個圓裏，經旋轉後相同算同一種解）：$Q_n^r = \dfrac{A_n^r}{r} = \dfrac{n!}{r \cdot (n-r)!}$

### 重要定理及證實

1. $\ C_n^m = C_n^{n-m}$

咱們能夠這麼想：組合就是從 $n$ 個元素中隨機抽出 $m$ 個元素，那這樣和從 $n$ 個元素中抽出 $n-m$ 個元素保留不是一個道理嗎？因此就有了這個公式：$\ C_n^m = C_n^{n-m}$

2. $C_{n+1}^m = C_n^m + C_n^{m-1}$ **【記牢，常常用！！！】**

> 方法1：咱們能夠這麼想：假設集合 $A$ 中如今有 $n+1$ 個元素，分別爲 $a_1,a_2,\cdots,a_{n+1}$ ，那麼從集合 $A$ 中抽出 $m$ 個元素，就能夠分類討論：若是抽出的元素中不含有 $a_1$ ，那麼就是從 $n$ 個元素中抽出 $m$ 個元素，一共有 $C_n^m$ 種；若是抽出的元素中含有 $a_1$，那麼就有 $C_n^{m-1}$ 種方法。因此 $C_{n+1}^m = C_n^m + C_n^{m-1}$。
>
> 方法2：階乘證實：
>
> $\because$ 左邊 $=$ $\dfrac{(n+1)!}{m!(n+1-m)!}$
>
> $\because$ 右邊 $= $ $\dfrac{n!}{m!(n-m)!} + \dfrac{n!}{(m-1)!(n+1-m)!} = \dfrac{n!(n-m+1)}{m!(n+1-m)!} + \dfrac{n! \cdot m}{m!(n+1-m)!} = \dfrac{(n+1)!}{m!(n+1-m)!}$
>
> $\therefore$ 左邊 $=$ 右邊
>
> $\therefore \ C_{n+1}^m = C_n^m + C_n^{m-1}$
>
> 方法3：楊輝三角形的任意一個數都等於它肩上的兩個數之和，再結合二項式定理，就能夠得出這個規律。

3. $C_n^m = \dfrac{m+1}{n+1} C_{n+1}^{m+1}$

一樣，這裏也能夠用階乘來證實：

$\because$ 左邊 $=$ $\dfrac{n!}{m!(n-m)!} $

$\because$ 右邊 $=$ $\dfrac{m+1}{n+1} \cdot \dfrac{(n+1)!}{(m+1)!(n+1-m-1)!} = \dfrac{m+1}{n+1} \cdot \dfrac{(n+1)!}{(m+1)!(n-m)!} = \dfrac{m+1}{n+1} \cdot \dfrac{n! (n+1)}{m!(n-m)!(m+1)} = \dfrac{n!}{m!(n-m)!}$

$\therefore$ 左邊 $=$ 右邊

$\therefore$ $C_n^m = \dfrac{m+1}{n+1} C_{n+1}^{m+1}$

4. 一個含有 $n \ (n \in N^*)$ 個元素的集合 $A = \{ a_1,a_2,\cdots , a_n \}$，不一樣的子集又 $2^n$ 個。

### 二項式定理

1. 俗話來講，就是**楊輝三角形**！

2. 二項式定理公式：
$$
\large (a+b)^n = C_n^0a^n + C_n^1a^{n-1}b^1 + \cdots + C_n^ka^{n-k}b^k + \cdots +C_n^nb^n (n \in N^*)
$$

3. 二項式定理通項：
$$
\large T_{k+1} = C_n^ka^{n-k}b^k
$$

4. 二項式係數之和：

令 $(a+b)^n = C_n^0a^n + C_n^1a^{n-1}b^1 + \cdots + C_n^ka^{n-k}b^k + \cdots +C_n^nb^n (n \in N^*)$，那麼 $C_n^0 + C_n^1 + \cdots + C_n^n = 2^n$

> 證實：
>
> 用賦值法，令 $a = b = 1$，那麼 $(a+b)^n = C_n^0 + C_n^1 + \cdots + C_n^n = (1+1)^n = 2^n$

5. 二項式係數最值問題：

都知道楊輝三角形實際上是一個十分對稱的三角形，每一行的最大值就是在這一行最中間的那個數。對於 $(a+b)^n$，展開後只要關注$\dfrac{n}{2}$ 的值。若是 $\dfrac{n}{2}$ 的值是整數，那麼二項式係數的最大值就是 $C_n^{\frac{n}{2}}$ ；反之，若是 $\dfrac{n}{2}$ 是小數，那麼二項式係數的最大值就是 $C_n^{[\frac{n}{2}]} , C_n^{[\frac{n}{2}]+1}$ （ $[x]$ 表示對 $x$ 向下取整）。

### 錯位排列

問題：有 $n$ 個信封和 $n$ 個信箱，分別編號爲 $1$ 到 $n$，相同編號的信封和信箱不能放一塊兒，則有幾種方法？

公式：$f(n)=(n-1)(f(n-1)+f(n-2))$

錯位排列的前幾項：$0,1,2,9,44,265$

**並非全部的問題都適用排列組合，視狀況而定！**

 

## 卡特蘭數

### 公式

先看這個問題：在 $n \times n$ 的網格里從左下角走到右上角的不通過 $y = x$ 這條線的單調路徑的條數。


路徑條數即爲：$\dbinom{n}{2n} - \dbinom{n-1}{2n} = \dfrac{1}{n+1} \dbinom{n}{2n}$

卡特蘭數通式即爲：$C_n = \dbinom{n}{2n} - \dbinom{n-1}{2n} = \dfrac{1}{n+1} \dbinom{n}{2n}$

卡特蘭數的遞推公式 $1$：$C_n = C_0 \times C_{n-1} + C_1 \times C_{n-2} + \cdots + C_{n-1} \times C_0,C_0 = 1$

卡特蘭數的遞推公式 $2$：$C_n = \dfrac{C_{n-1} \times (4 \times n - 2)}{n+1}$

### 應用

1. 求帶限制條件的路徑條數

2. 求合法的括號序列的個數

3. 求出棧次序

4. 買票找票問題：有 $2n$ 我的排成一行進入劇場。入場費 $5$ 元。其中只有 $n$ 我的有一張 $5$ 元鈔票，另外 $n$ 人只有 $10$ 元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少種方法使得只要有 $10$ 元的人買票，售票處就有 $5$ 元的鈔票找零？（將持 $5$ 元者到達視做將 $5$ 元入棧，持 $10$ 元者到達視做使棧中某 $5$ 元出棧）

5. 排隊問題：如今有 $2n$ 我的，他們身高互不相同，他們要成兩排，每一排有 $n$ 我的，而且知足每一排必須是從矮到高，且後一排的人要比前一排對應的人要高，問有多少種方案。

6. 凸多邊形三角劃分：在一個凸多邊形中，經過若干條互不相交的對角線，把這個多邊形劃分紅了若干個三角形。任務是輸入凸多邊形的邊數 $n$，求不一樣劃分的方案數 $f(n)$。

7. 給定節點構成二叉搜索樹

 

## 指針問題

### 指針定義

C語言裏，變量存放在內存中，而內存其實就是一組有序字節組成的數組，每一個字節有惟一的內存地址。CPU 經過內存尋址對存儲在內存中的某個指定數據對象的地址進行定位。這裏，數據對象是指存儲在內存中的一個指定數據類型的數值或字符串，它們都有一個本身的地址，而指針即是保存這個地址的變量。也就是說：**指針是一種保存變量地址的變量**。

### 如何定義一個指針

指針其實就是一個變量，指針的聲明方式與通常的變量聲明方式沒太大區別，下面舉了幾個栗子：

```cpp
int *p; // 聲明一個 int 類型的指針 p
char *p // 聲明一個 char 類型的指針 p
int *arr[10] // 聲明一個指針數組，該數組有10個元素，其中每一個元素都是一個指向 int 類型對象的指針
int (*arr)[10] // 聲明一個數組指針，該指針指向一個 int 類型的一維數組
int **p; // 聲明一個指針 p ，該指針指向一個 int 類型的指針
```

聲明一個指針變量並不會自動分配任何內存。在對指針進行間接訪問以前，指針必須進行初始化：或是使他指向現有的內存，或者給他動態分配內存，不然咱們並不知道指針指向哪兒。同時，對指針進行初始化後，即可以正常對指針進行賦值了。 初始化的操做以下：

```cpp
/* 方法：使指針指向現有的內存 */
int x = 1;
int *p = &x;　　// 指針 p 被初始化，指向變量 x ，其中取地址符 & 用於產生操做數內存地址
```

就以下面這個程序，輸出爲：`1 2`

```cpp
#include <bits/stdc++.h>

int main(){
int x = 1;
int *p = &x;
printf("%d ",*p);
　 *p = 2;
printf("%d\n",*p);

return 0;
}
```

### NULL指針

NULL 指針是一個特殊的**指針變量**，表示不指向任何東西。能夠經過給一個指針賦一個零值來生成一個 NULL 指針。

### 指針的運算

1. 指針 $+/-$ 整數

能夠對指針變量 $p$ 進行 `p++`、`p--`、`p+i` 等操做，所得結果也是一個指針，只是指針所指向的內存地址相比於 $p$ 所指的內存地址前進或者後退了 $i$ 個操做數。

2. 指針 $-$ 指針

只有當兩個指針都指向同一個數組中的元素時，才容許從一個指針減去另外一個指針。減法運算的值是兩個指針在內存中的距離（以數組元素的長度爲單位），由於減法運算的結果將除以數組元素類型的長度。舉個例子：

```cpp
#include "stdio.h"

int main(){
int a[10] = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,0};
int sub;
int *p1 = &a[2];
int *p2 = &a[8];

sub = p2-p1;
printf("%d\n",sub);　　　　// 輸出結果爲 6

return 0;
}
```

 

 

## 邏輯運算

1. 概念：非：not $ ¬$ 與：and $∧$ 或：or $∨$ 異或：xor $⊕$

2. 運算符的優先級：


 

## OI歷史及規則

### 各項賽事

1. `NOI` 全國青少年信息學奧林匹克競賽，從 $1984$ 年開始至今
2. `NOIP` 全國青少年信息學奧林匹克聯賽，從 $1995$ 年到 $2018$ 年~~（NOIP已死）~~
3. `CSP認證` 從 $2014$ 年開始
4. `CSP-J/S` 非專業級別的能力認證，從 $2019$ 年開始
5. `APIO` 亞洲與太平洋地區信息學奧賽，從 $2007$ 年開始，第一屆在澳大利亞舉行
6. `IOI` 國際信息學奧林匹克競賽，從 $1989$ 年在保加利亞開始。中國承辦 `IOI` $2000$

### 聯賽規則

不用說了，本身訪問 www.noi.cn 去看吧！

 

## 計算機基礎知識

### 發展史

1. $1946$ 年 $2$ 月，在美國賓夕法尼亞大學誕生了世界上第一臺電子計算機`ENIAC`，這臺計算機佔地 $170$ 平方米，重 $30$ 噸，用了 $18000$ 多個電子管，每秒能進行 $5000$ 次加法運算。

2. 計算機的 $4$ 個發展過程：

>$1.$ 電子管 $1946 - 1958$
>
>$2.$ 晶體管 $1959-1964$
>
>$3.$ 集成電路 $1965-1970$
>
>$4.$ 大規模，超大規模集成電路 $1971 - Now$

3. 馮·諾依曼（美籍匈牙利數學家）思想：計算機由存儲器，控制器，運算器，輸入設備，輸出設備 $5$ 部分組成。

4. 圖靈：英國數學家，$1912-1954$

### 系統的基本結構和常識


2. CPU（中央處理器）的主要指標爲主頻和字長。

3. CPU是微機的核心部件，是決定微機性能的關鍵部件。$20$ 世紀 $70$ 年代微型機的CPU問世，微型計算機的核心部件微處理器從`Intel 4004`，`80286`，`80386`，`80486` 發展到 `Pentium II/III` 和 `Pentium 4`，數位從$4$ 位、$8$ 位、$16$ 位、$32$ 位發展到 $64$ 位，主頻從幾 $MHZ$ 到今天的數 $GHZ$ 以上（$1GHZ＝1000MHZ$），CPU芯片裏集成的晶體管數由 $2$ 萬個躍升到 $1000$ 萬個以上。

4. 世界上第一個CPU：`Inter 4004`。

5. 進制轉換：$1TB=1024GB=1024^2MB=1024^3KB=1024^4B$

6. 各類存儲器讀取速度比較：`Cache` $>$ `RAM` $>$ `ROM` $>$ 外存 **離CPU越近，速度越快**

7. 總線結構可分爲：數據，地址，控制總線。

8. 計算機的軟件：


9. 計算機的語言：機器語言，彙編語言，高級語言
10. 在高級語言中，編譯性語言有 `C/C++`、`Pascal/Object Pascal（Delphi）`等；解釋性語言有 `ASP`、`PHP`、`Java`、`JavaScript`、`VBScript`、`Perl`、`Python`、`Ruby` 等。

### 信息編碼

1. 字節是存儲器系統的最小存取單位。

2. 英文編碼：$ASCII$ 碼。$ASCII$ 編碼是由美國國家標準委員會制定的一種包括數字、字母、通用符號和控制符號在內的字符編碼集，全稱叫美國國家信息交換標準代碼（American Standard Code for Information Interchange）。


3. 漢字編碼：國家標準 $GB2312$：包括了 $6763$ 個漢字。

### 原碼，反碼，補碼

1. 原碼：原碼就是符號位加上真值的絕對值，即用第一位（$+ = 0,-=1$）表示符號，其他位表示值。

>$+1 = 0000 0001, -1=1000 0001$

2. 反碼：正數的反碼是其自己，負數的反碼是在其原碼的基礎上，符號位不變，其他各個位取反。

>$+1 = [0000 0001]_原 = [0000 0001]_反$
>
>$-1 = [1000 0001]_原 = [1111 1110]_反$

3. 正數的補碼就是其自己，負數的補碼是在其原碼的基礎上，符號位不變，其他各位取反，最後 $+1$。（即在反碼的基礎上 $+1$）

>$+1 = [0000 0001]_原 = [0000 0001]_反 = [0000 0001]_補$
>
>$-1 = [1000 0001]_原 = [1111 1110]_反 = [1111 1111]_補$

 

 

# CSP-S 初賽閱讀程序與程序填空

## 閱讀程序與程序填空

### 常考算法

>約瑟夫環、幻方、求逆序對、歸併排序相關操做、求逆序對、快速冪、組合數學、楊輝三角、二進制、搜索（遍歷）、$\gcd$ 、$ex\gcd$、最長上升子序列、最長公共子序列、最長公共上升子序列、康拓展開……

其實主要仍是以作題爲主（模板題）。


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