求解點關於直線的距離、垂足、對稱點公式

 下面經過兩種直線方程的形式，求解點關於直線的距離、垂足、對稱點公式。

問題描述1：

已知點的座標（x0，y0），直線的方程爲Ax+By+C = 0；

求點到直線上的距離d、點在直線上的垂足（x, y）、點關於直線的對稱點(x’, y’)。

解決方法：

（1）距離：

         d = ( Ax0 + By0 + C ) / sqrt ( A*A + B*B );

         這個「距離」有符號，表示點在直線的上方或者下方，取絕對值表示歐式距離。

（2）垂足：

         求解兩個方程：

　　（a）　　Ax + By + C = 0;

　　（b）　　(y - y0) / (x - x0) = B / A;

         解得，x = (  B*B*x0  -  A*B*y0  -  A*C  ) / ( A*A + B*B );

                    y  =  ( -A*B*x0 + A*A*y0 - B*C  ) / ( A*A + B*B );

（3）對稱點：

         方法一：求解兩個方程：(a)、A*( x’+x0 ) / 2 + B*( y‘+y0 ) / 2 + C = 0; (b)、(y’ - y0) / (x‘ - x0) = B / A;

         方法二：把問題轉化爲求解已知點關於垂足的對稱點：

                首先，求出垂足；則x’ = 2*x - x0; y‘ = 2*y - y0;

                解得，x’ = ( (B*B - A*A)*x0 - 2*A*B*y0 - 2*A*C ) / ( A*A + B*B );

                           y‘ = ( -2*A*B*x0 + (A*A - B*B) * y0 - 2*B*C ) / ( A*A+B*B );

         方法三：首先，求一系數k，k = - 2 * (A*x0 + B*y0 + C) / (A*A+B*B);

                 則，   x' = x0 + k * A;

                           y' = y0 + k * B;

                  此證實詳見資源：http://download.csdn.net/detail/changbaolong/4196639

        

問題描述2：

已知點的座標（x0，y0），直線上的兩點（x1，y1）、（x2，y2）；

求點到直線上的距離d、點在直線上的垂足（x, y）、點關於直線的對稱點(x’, y‘)。

解決方法：

        方法一：把直線化兩點式爲通常式，則通常式中的A = y2 -y1;       B = x1 - x2;     C = x2*y1 - x1*y2;    帶入上面的公式，便可求出相應的距離、垂足、對稱點。

        方法二：

（a）距離：

         首先，求出垂足的座標；

         則d = sqrt( (x - x0) * (x - x0)  +  (y - y0) * (y - y0));

（b）垂足：

         首先，求一系數 k： 設直線的起點和終點分別爲A（x1， y1）、B（x2， y2），直線外一點爲C（x0， y0），垂足爲D；並設k = |AD| / |AB。

         則，k * AB = AD = AC + CD，又 AB * CD= 0；因此，k * AB* AB = AC *AB，故 k =AC * AB / （AB * AB）。

         帶入座標，即得，

　　　　 k = ( (x0- x1) * (x2 - x1) + (y0 - y1) * (y2 - y1) )  / ( (x2 - x1) * (x2 - x1) + (y2 - y1) * (y2 - y1) ) ;

         則   x = x1 + k*(x2 - x1);      y = y1 + k*(y2 - y1);

（c）對稱點：

         同問題描述1中的方法。