點到直線距離

先說結論：

假設平面的通常式方程

• Ax +By +Cz + D = 0
• 其中n = (A, B, C)是平面的法向量

• 法向量的A，B，C能夠和D同時乘以或除以一個數，所表明的平面不變。

• 任意一個點到平面距離通常形式：（更高緯也ok）
  \[d=\frac{平面方程代入點座標}{平面法向量的二範數}\]

• 標量形式：
  \[d=\frac{Ax +By +Cz+D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]

• 向量形式：
  平面能夠表示爲\(w^Tx + b = 0\),能夠是N維超平面，則：
  \[d=\frac{|w^Tx + b|}{||w||}\]

標量形式，以三維爲例：

平面的通常式方程

Ax +By +Cz + D = 0

其中n = (A, B, C)是平面的法向量，D是將平面平移到座標原點所需距離（因此D=0時，平面過原點）

向量的模（長度/二範數）

給定一個向量V（x, y, z),則\(|V| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)

向量的點積（內積）

給定兩個向量\(\vec V_1(x_1, y_1, z_1)\)和\(\vec V_2(x_2, y_2, z_2)\)則他們的內積是

\(<V_1·V_2> = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2\)

點到平面的距離

幾何解法：

有了上面的準備知識，則求點到直線的距離再也不是難事，有圖有真相

若是法相量是單位向量的話，那麼分母爲1

向量形式：

其實就是SVM的幾何間隔過程，假設有平面：

若是已知平面方程\(w^Tx + b = 0\)和A點的座標
For point A, which represents the input \(x^{(i)}\) with label \(y ^{(i)} = 1\), its distance to the decision boundary,$y ^{(i)} $ , is given by the line segment AB.
Question: how to find the value of \(γ ^{(i)}\) ?
如何計算出來A到平面的距離 \(γ ^{(i)}\) ？

• Point B is given by \(x ^{(i)} − γ ^{(i)} ω/ ||ω||_2\)
  • 假如A是\((x^{(i)},y^{(i)})\),B的X座標能夠使用γ和A的座標計算出來。
  • 就是： \(x ^{(i)} − γ ^{(i)} ω/ ||ω||_2\) （由於長度是\(γ\),w是法向，除掉以後是單位向量。A的x減去法向上的長度就是B的x的值？）
• B lies in the decision boundary:
  • 由於B在決策邊界（分類面）上，把B的x座標代入分類面（或直線）方程：