掃描線

一種求多個矩形和周長\(∪\)的方法

掃描線：假設有一條掃描線從一個圖形的下方掃向上方（或者左方掃到右方），那麼經過分析掃描線被圖形截得的線段就能得到所要的結果。該過程能夠用線段樹實現——洛谷題解

面積並

二話不說先上圖——本身畫圖賊醜，因此暫且借一下洛谷的圖

如何求上面兩個矩形的面積呢？？

咱們假設一條掃描線從下方開始向上掃，掃到橫邊的時候中止、

首先咱們將矩形的上下邊分爲上位邊(即y座標大的那條平行於x軸的邊),和下位邊(y座標小的平行於x軸的邊).而後咱們把全部矩形的上下位邊按照他們y座標從小到大排序,能夠獲得4條掃描線:

根據圖能夠看出，對圖形面積有貢獻的是橫邊左右端點的座標，咱們把矩形的下邊賦予權值爲1，上邊爲-1，而後把全部的邊按照縱座標大小升序排序（模擬掃描過程）；

而後捏??

線段樹是個好東西（每次都掛）

咱們把全部的邊離散化，把橫座標存到一個數組裏，升序排列，而後去重（防止x爲浮點數且很大沒法進行線段樹）

上圖能夠看出，四個橫座標把x軸分紅了5段，咱們取中間3段間線段樹維護

其中每一個端點維護每一個線段信息:

1.該線段被覆蓋了多少次（被多少個矩形所覆蓋）
2.該線段內被整個圖形所截的長度是多少

顯然，只要一條線段被覆蓋，那麼它確定被圖形所截。因此，整個問題就轉化爲了一個區間查詢問題，即：每次將 當前掃描線掃到的邊 對應的信息 按照以前賦上的權值更新，而後再查詢線段樹根節點的信息，最後獲得當前掃描線掃過的面積。這就能夠用線段樹來實現了

模擬過程

咱們已經知道，這棵線段樹的每一個節點都對應了一條線段。考慮將線段樹上節點對應的區間和橫邊創建映射關係。先看對於一個葉子節點\(x\)，建樹時保證了\(tree[x].l=tree[x].r\)但其保存的信息很顯然不可能只是某條線段的一個端點（若是一條線段的兩個端點重合，那麼它實質上僅是一個點）。再看一個節點的左右兒子，一樣地，建樹的時候已經保證了左右兒子的區間不會重合（交集爲空），可是看這樣兩條相鄰線段：\([1,2],[2,3]\)你會發現\([1,2]∩[2,3]={2}\)，也就是說左兒子的右端點和右兒子的左端點實際上是重合的。

考慮把線段樹每一個節點\(x\)對應的區間\(（tree[x].l,tree[x].r）\)不變，改變區間和橫邊的映射關係，具體爲：節點\(x\)對應\([X[tree[x].l],X[tree[x].r+1]]\)這條橫邊。能夠看到，這裏很機智地把右端點的對應關係給改了下，因而就兼容了