線性基的小證實...

這個... 看到一個大佬的證實，沒看懂，就本身證了一下...

定律

對於一個集合 S （可重），設它任意個元素（至少一個）異或後能取到的值的集合爲 T ，那麼 T 中全部元素從 S 中異或獲得機率是相等的

證實

咱們先將原集合 S 中搞個線性基，那麼此時線性基就至關於一個集合 H ，裏面包含一些 S 中的元素，那麼線性基中就有 |H| 個元素，按照定義， H 能夠表示出 \(2^{|H|}-1\) 種權值（減去的一是線性基中默認的 0 ，能夠理解爲空集）。

而後咱們在 S 中取出 H 的補集 G ，那麼這個補集能夠異或出 \(2^{|G|}\) 個值（可重）

如今咱們分兩步走：

第一步

咱們發現全部的 G 集合能異或獲得的值 x 都能在線性基 H 中找到惟一肯定的子集（包括空集）使其異或和與 x 相等

而後咱們據此能夠獲得 \(2^{|G|\) 個 S 的子集，使得其中全部子集異或和爲 0

第二步

首先咱們拿出一個集合 A ，使得 A 的異或和爲 x 且不能拆出任意一個異或和爲 0 的子集

而後咱們在上面獲得的 \(2^{|G|}\) 個異或和爲 0 的集合中選出任意個集合（方案數爲 \(2^{2^{|G|}}\) ）

最後咱們把這些集合並起來，這裏的合併指的是出現偶數次的元素丟掉，奇數次的保留，最後咱們能夠獲得一個異或和爲 x 的集合

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上面的作法看上去貌似是會算重的，但事實上咱們發現每種值被算重的次數都是相等的，這樣全部取值的選擇集合方案數減去算重次數仍是相等的

證實總結： 玄學，背結論就好，否則感性理解...