最小生成樹 Kruskal算法

時間 2019-12-10

標籤最小生成樹 kruskal 算法简体版

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Kruskal算法html

1.概覽node

Kruskal算法是一種用來尋找最小生成樹的算法，由Joseph Kruskal在1956年發表。用來解決一樣問題的還有Prim算法和Boruvka算法等。三種算法都是貪婪算法的應用。和Boruvka算法不一樣的地方是，Kruskal算法在圖中存在相同權值的邊時也有效。算法

2.算法簡單描述數組

1).記Graph中有v個頂點，e個邊ide

2).新建圖Graph_new，Graph_new中擁有原圖中相同的e個頂點，但沒有邊spa

3).將原圖Graph中全部e個邊按權值從小到大排序code

4).循環：從權值最小的邊開始遍歷每條邊直至圖Graph中全部的節點都在同一個連通份量中htm

if 這條邊鏈接的兩個節點於圖Graph_new中不在同一個連通份量中blog

添加這條邊到圖Graph_new中排序

圖例描述：

首先第一步，咱們有一張圖Graph，有若干點和邊

將全部的邊的長度排序，用排序的結果做爲咱們選擇邊的依據。這裏再次體現了貪心算法的思想。資源排序，對局部最優的資源進行選擇，排序完成後，咱們率先選擇了邊AD。這樣咱們的圖就變成了下圖

在剩下的圖中尋找。咱們找到了CE。這裏邊的權重也是5

依次類推咱們找到了6,7,7，即DF，AB，BE。

下面繼續選擇， BC或者EF儘管如今長度爲8的邊是最小的未選擇的邊。可是如今他們已經連通了（對於BC能夠經過CE,EB來鏈接，相似的EF能夠經過EB,BA,AD,DF來接連）。因此不須要選擇他們。相似的BD也已經連通了（這裏上圖的連通線用紅色表示了）。

最後就剩下EG和FG了。固然咱們選擇了EG。最後成功的圖就是下圖：

3.簡單證實Kruskal算法

對圖的頂點數n作概括，證實Kruskal算法對任意n階圖適用。

概括基礎：

n=1，顯然可以找到最小生成樹。

概括過程：

假設Kruskal算法對n≤k階圖適用，那麼，在k+1階圖G中，咱們把最短邊的兩個端點a和b作一個合併操做，即把u與v合爲一個點v'，把原來接在u和v的邊都接到v'上去，這樣就可以獲得一個k階圖G'(u,v的合併是k+1少一條邊)，G'最小生成樹T'能夠用Kruskal算法獲得。

咱們證實T'+{<u,v>}是G的最小生成樹。

用反證法，若是T'+{<u,v>}不是最小生成樹，最小生成樹是T，即W(T)<W(T'+{<u,v>})。顯然T應該包含<u,v>，不然，能夠用<u,v>加入到T中，造成一個環，刪除環上原有的任意一條邊，造成一棵更小權值的生成樹。而T-{<u,v>}，是G'的生成樹。因此W(T-{<u,v>})<=W(T')，也就是W(T)<=W(T')+W(<u,v>)=W(T'+{<u,v>})，產生了矛盾。因而假設不成立，T'+{<u,v>}是G的最小生成樹，Kruskal算法對k+1階圖也適用。

由數學概括法，Kruskal算法得證。

 1 typedef struct          
 2 {  3     char vertex[VertexNum];                                //頂點表 
 4     int edges[VertexNum][VertexNum];                       //鄰接矩陣,可看作邊表 
 5     int n,e;                                               //圖中當前的頂點數和邊數 
 6 }MGraph;  7  
 8 typedef struct node  9 { 10     int u;                                                 //邊的起始頂點 
11     int v;                                                 //邊的終止頂點 
12     int w;                                                 //邊的權值 
13 }Edge; 14 
15 void kruskal(MGraph G) 16 { 17     int i,j,u1,v1,sn1,sn2,k; 18     int vset[VertexNum];                                    //輔助數組，斷定兩個頂點是否連通 
19     Edge E[EdgeNum];                                         //存放全部的邊 
20     k=0;                                                    //E數組的下標從0開始 
21     for (i=0;i<G.n;i++) 22  { 23         for (j=0;j<G.n;j++) 24  { 25             if (G.edges[i][j]!=0 && G.edges[i][j]!=INF) 26  { 27                 E[k].u=i; 28                 E[k].v=j; 29                 E[k].w=G.edges[i][j]; 30                 k++; 31  } 32  } 33  } 34     heapsort(E,k,sizeof(E[0]));                            //堆排序，按權值從小到大排列 
35     for (i=0;i<G.n;i++)                                    //初始化輔助數組 
36  { 37         vset[i]=i; 38  } 39     k=1;                                                   //生成的邊數，最後要恰好爲總邊數 
40     j=0;                                                   //E中的下標 
41     while (k<G.n) 42  { 43         sn1=vset[E[j].u]; 44         sn2=vset[E[j].v];                                  //獲得兩頂點屬於的集合編號 
45         if (sn1!=sn2)                                      //不在同一集合編號內的話，把邊加入最小生成樹 
46  { 47             printf("%d ---> %d, %d",E[j].u,E[j].v,E[j].w); 48             k++; 49             for (i=0;i<G.n;i++) 50  { 51                 if (vset[i]==sn2) 52  { 53                     vset[i]=sn1; 54  } 55  } 56  } 57         j++; 58  } 59 }