拉格朗日反演

拉格朗日反演

設有兩個多項式\(F(x)\)和\(G(x)\)，兩個多項式都是常數項爲\(0\)且\(1\)次項不爲\(0\)，若是知足\(G(F(x))=x\)，則稱\(F(x)\)和\(G(x)\)互爲複合逆，有

\[ [x^n]F(x)={1\over n}[x^{-1}]{1\over G^n(x)} \]
\[ [x^n]H(F(x))={1\over n}[x^{-1}]H'(x){1\over G^n(x)} \]

其中\([x^n]F(x)\)表示多項式\(F(x)\)的\(n\)次項係數。把\(F\)和\(G\)交換位置也成立（大概……）

前置芝士

當我第一次看到這兩個式子的時候是懵逼的，一個好好多項式的哪來的\(x^{-1}\)？

而後看了看發現這好像是抽代裏的芝士……我根本不會啊……

而後隨便看了看書……大概是這麼定義的

環：設\(R\)是一個非空集合，若是\(R\)上定義了兩個代數運算（代數運算就表明有封閉性），一個是加法，一個是乘法，而且知足一下三個條件

1.\(R\)對於加法成一個交換羣（就是\(R\)對於加法成一個羣，且這個加法知足交換律）

2.乘法有結合律

3.乘法對加法有分配律，即\(a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca\)（左右都有分配律）

那麼\(R\)就是一個環

而後域的定義就是：若是\(R\)的乘法有單位元，知足交換律，而且每個非\(0\)元均可逆，那麼\(R\)就是一個域

咱們平時作的只是在形式冪級數環上的東西，就是形如\(a_0+a_1x+a_2x^2+...\)，記爲\(F[[x]]\)（\(F\)是一個域，\(OI\)裏通常都是複數域或者模\(P\)意義下的域）

首先它並非一個域，由於形如\(x\)這種沒有常數項的多項式是不可逆的

而後咱們須要一個域，是一個叫作分式環的東西（雖然叫環但它是個域），爲全部形如\(ab^{-1},a,b\in R,b\neq 0\)的元素組成（這裏除法只是個形式，並不須要\(b\)真的可逆）。咱們把\(F[[x]]\)的分式環記爲\(F((x))\)

而後\(F((x))\)中的每一個元素都能表示成\(...a_{-2}x^{-2}+a_{-1}x^{-1}+a_0+a_1x^1+a^2x^2+...\)的形式

爲啥嘞？對於\(F((x))\)中的每個元素\(A(x)/B(x)\)，咱們把\(B(x)\)表示成\(x^dB'(x)\)的形式，其中\(B'(x)\)是一個常數項非\(0\)的多項式（不是導數），那麼\(B'(x)\)就可逆，計算出\(A(x)/B'(x)\)以後，把每一項次數減去\(d\)就好了

那麼在\(F((x))\)下咱們就不用擔憂\(B(x)\)不可逆之類的問題了

證實

因此你嘰裏呱啦說了一大堆有什麼用啊！

對於\(G(F(x))=x\)，咱們能夠寫成

\[\sum_{i=1}^\infty a_iF^i(x)=x\]

兩邊求導，得

\[\sum_{i=1}^\infty ia_iF^{i-1}(x)F'(x)=1\]

這裏的\(F'(x)\)就表明\(F(x)\)的導數了

咱們兩邊同除以\(F^n(x)\)，同時取\(x^{-1}\)的係數

\[[x^{-1}]\sum_{i=1}^\infty ia_iF^{i-n-1}(x)F'(x)=[x^{-1}]{1\over F^n(x)}\]

對於左邊，咱們發現當\(i\neq n\)的時候，\(F^{i-n-1}(x)F'(x)\)等價於\({1\over i-n}(F^{i-n})'(x)\)，因爲任何一個多項式求導以後\(-1\)次項都爲\(0\)因此這一部分都不用去考慮，只要管\(i=n\)的時候就好了

當\(i=n\)的時候，有

\[ \begin{aligned} F^{-1}(x)F'(x) &={a_1+2a_2x+3a_3x^2+...\over a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...}\\ &=\frac{a_1+2a_2x+3a_3x^2+\cdots}{a_1x}\cdot \frac{1}{1+\left(\frac{a_2}{a_1}x+\frac{a_3}{a_1}x^2+\cdots\right)}\\ \end{aligned} \]

對於後面分母中那個多項式來講，由於它的常數項不爲\(0\)因此它可逆，且它的逆常數項必爲\(1\)。而前面那個多項式只有第一項次數爲\(-1\)，並且第一項的係數爲\(1\)

因而咱們發現\([x^{-1}]F^{-1}(x)F'(x)=1\)

代入原式中就有\(a_n=[x^{-1}]{1\over n}{1\over F^n(x)}\)

而後就證完了

等會兒，你給我這式子了，那我咋求\(x^{-1}\)？個人形式冪級數裏可沒有\(-1\)次項啊？

由於\(F(x)\)常數項爲\(0\)且\(1\)次項不爲\(0\)，咱們令\(F'(x)=F(x)/x\)，那麼原式就能變成\(a_n=[x^{-1}]{1\over n}{x^n\over F'^n(x)}=[x^{n-1}]{1\over n}{1\over F'^n(x)}\)，這就徹底轉化成形式冪級數的形式了，問題解決