【CSA35G】【XSY3318】Counting Quests DP 拉格朗日反演 NTT

題目大意

　　zjt 是個神仙。

　　一天，zjt 正在和 yww 玩猜數遊戲。

　　zjt 先想一個 \([1,n]\) 之間的整數 \(x\)，而後 yww 開始向他問問題。

　　yww 每次給 zjt 一個區間 \([l,r](1\leq l\leq r\leq n)\)，並詢問：\(x\) 是否在區間 \([l,r]\) 內？

　　對於 NOIP 爆零的 yww 來講，他只會用二分法去猜出這個數。

　　可是 zjt 決定加大難度。他只會在 yww 給出全部想問的問題以後一次性給出答案。

　　請你幫助 yww 算出，有多少種可能的區間的集合 \(S\)，知足 yww 在詢問全部 \(S\) 中的區間的狀況下，不管 \(x\) 是多少，yww 都能猜出來。

　　方案數對 \(p\) 取模。

　　\(n\leq 300,p<2^{30}\)

題解

　　考慮求出不知足要求的集合個數。

　　對於一個集合 \(S\)，求出每個數被那些區間覆蓋了，記爲 \(S_i\)。而後給每一個數一個編號 \(a_i\)，知足 \(S_i\) 相同的數 \(a_i\) 相同。

　　對於兩個位置 \(a_i=a_j\)，若是一個區間覆蓋了 \(i\)，那麼這個區間就必定覆蓋了 \(j\)。

　　每次把 \(a\) 中的第一個數 \(x\) 放入 \(b\) 的末尾，而後在 \(a\) 中刪掉最後一個 \(x\) 前的全部數（包括最後一個 \(x\)）。

　　例如 \(a=[1,2,3,2,4,2,5,5,10,6,7,8,7,6,9]\)

　　此時 \(b=[1,2,5,10,6,9]\)

　　能夠發現，若是把 yww 給出的沒有包含任何數的區間刪掉，那麼剩下的區間對應着一個長度爲 \(\lvert b\rvert\) 的序列的答案。

　　並且被刪掉的區間是否存在都沒有影響。

　　這樣就能夠DP了。

　　記 \(f_i\) 爲 \(i\) 個數的答案，\(g_{i,j}\) 爲 \(i\) 個數，處理以後之剩 \(j\) 個數的答案。

　　那麼
\[ f_i=2^{\binom{i+1}{2}}-\sum_{j=1}^{i-1}f_jg_{i,j}\\ g_{i,j}=g_{i-1,j-1}+\sum_{k=0}g_{i-k-2,j-1}2^{\binom{k+1}{2}} \]
　　時間複雜度：\(O(n^3)\) 或 \(O(n^2\log n)\)

　　記 \(F(x)=\sum_{i\geq 0}f_ix^i,G_i(x)=\sum_{j\geq 0}g_{j,i}x^j,H(x)=\sum_{i\geq 0}2^{\binom{i+1}{2}}x^i,A(x)=x+\sum_{i\geq 2}\binom{i-1}{2}x^i\)

　　記 \(A^{-1}(x)\) 爲 \(A(x)\) 的複合逆：\(A(A^{-1}(x))=x\)
\[ G_i(x)=A(x)^i\\ \sum_{j=1}^if_jg_{i,j}=h_i\\ F(A(x))=H(x)\\ F(x)=H(A^{-1}(x)) \]
　　而後直接擴展拉格朗日反演求一項的值就行了。
\[ [x^n]H(A^{-1}(x))=[x^{-1}](\frac{1}{n}\frac{dH(x)}{dx}\frac{1}{A(x)^n}) \]
　　時間複雜度：\(O(n\log n)\)

代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<functional>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<assert.h>
//using namespace std;
using std::min;
using std::max;
using std::swap;
using std::sort;
using std::reverse;
using std::random_shuffle;
using std::lower_bound;
using std::upper_bound;
using std::unique;
using std::vector;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double db;
typedef std::pair<int,int> pii;
typedef std::pair<ll,ll> pll;
void open(const char *s){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
void open2(const char *s){
#ifdef DEBUG
    char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd(){int s=0,c,b=0;while(((c=getchar())<'0'||c>'9')&&c!='-');if(c=='-'){c=getchar();b=1;}do{s=s*10+c-'0';}while((c=getchar())>='0'&&c<='9');return b?-s:s;}
void put(int x){if(!x){putchar('0');return;}static int c[20];int t=0;while(x){c[++t]=x%10;x/=10;}while(t)putchar(c[t--]+'0');}
int upmin(int &a,int b){if(b<a){a=b;return 1;}return 0;}
int upmax(int &a,int b){if(b>a){a=b;return 1;}return 0;}
const int N=510;
int n;
ll p;
ll pw[N*N];
ll f[N];
ll g[N][N];
void init()
{
    pw[0]=1;
    for(int i=1;i<=n*n;i++)
        pw[i]=pw[i-1]*2%p;
}
int main()
{
    open("guess");
    scanf("%d%lld",&n,&p);
    init();
    g[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            g[i][j]=g[i-1][j-1];
            for(int k=0;i-2-k>=j-1;k++)
                g[i][j]=(g[i][j]+g[i-2-k][j-1]*pw[k*(k+1)/2])%p;
        }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        f[i]=pw[i*(i+1)/2];
        for(int j=1;j<i;j++)
            f[i]=(f[i]-f[j]*g[i][j])%p;
    }
    ll ans=f[n];
    ans=(ans%p+p)%p;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}