標準差的由來

做者：香川羣子

原文地址：http://www.6sq.net/thread-178075-1-1.html

開始學習。

首先，對一個可測量的計量型品質特性值，
咱們知道因爲世界上不存在徹底同樣的東西，
那麼當測量精度足夠時，
N個對象就能夠獲得N個不徹底相同的計量數值。

對於這一組不一樣的對象數值，
咱們但願知道他們的均勻性或者說差別特性，
以便了解對象品的整批批次特性，
而且但願是獲得定量而不僅是定性的評價結果。
這樣就產生了數學評估的要求。


咱們前輩的數學研究，首先發現了平均值，
即數值總和除以樣本數。
這個數學平均值能夠大體告訴咱們，
該特定批次的總體水平，和基準要求的差別，
若是平均值比基準大，那麼咱們通常能夠認爲整批物品中，
大於基準的多一些。反之，若是平均值小，那麼小於基準的會多一些。

且慢，真的都是這樣子的嗎？

咱們長期的經驗發覺，若是該批次物品特性值不是天然均勻分佈的話，
即若是個別值特別大或特別小，那麼平均值將被顯著拉高或壓低。
（如，一個天然村中出了一個千萬富翁，那麼村裏你們的平均資產均可能一會兒超過實際幾倍。）

爲此，首先引入了中位值的概念，做爲參照。

可是，發覺中位值的做用頗有限呢……。


因而繼續研究，很快，人們發現，
能夠計算一下每一個個體值和平均值的差，稱「均差」
當即就能發現，個體和平均值之間的差別有多大了。

但是，這樣作是對每一個個體的評估，
若是要只用一個數值指標來評估的話，那該怎麼辦呢？


因而，首先想到了把「均差」進行數學平均計算，
可是，很遺憾地發現，若是是幾何對稱分佈的話，
那麼「均差」的數學平均值可能趨近於零，而該批次的均勻性卻仍然不好。

爲何會這樣子呢？
由於「均差」自己有正有負，直接做數學平均的話，差別會相互抵消。

怎麼辦哪？急死人了！

偶然中，有人想到了平方運算的取正做用，
把每一個「均差」平方運算之後，再取其數學平均值，
即「均差」的總和除以樣本數，（這個尚不是如今的標準方差）
呵呵，很理想地找到了這個評估值和樣本差別性之間的線性相關……。

後來，數學家爲了保證計算值和實際值的單位統一，
（這個值和實際值的單位是平方關係。）
所以提出了把這個值再開平方一次，以保證它仍然是一次冪單位……。

至此，標準方差正式誕生了。


標準方差的計算公式是：
1。求每個數與這個樣本數列的數學平均值之間的差，稱均差；
2。計算每個差的平方，稱方差；
3。求它們的總和，再除以這個樣本數列的項數獲得均方差；
4。再開根號獲得標準方差！


分析：
標準方差主要和分母（項數）、分子（無極性誤差）有直接關係！
這裏的誤差爲每個數與平均值的差別，平方運算後以去除正負極性。
爲保持單位一致，再開方運算。


幾個適用的理解：
1.數據總體分佈離平均值越近，標準方差就越小；
數據總體分佈離平均值越遠，標準方差越大。
（標準方差和差別的正相關）


2.特例，標準方差爲0，意味着數列中每個數都相等。
（一組平方數總和爲零時，每個平方數都必須爲零）


3.序列中每個數都加上一個常數，標準方差保持不變！
（方差自己是數值和平均值之間做比較，常數已被相互抵消。）


4。標準方差主要反映的是數列總體對於數學平均值的偏移分佈特性，
不論它是往那個方向。


5。個別值對數學平均值的偏移越大，對標準方差的值的增大貢獻越大。
而且這個貢獻是因爲平方運算而被顯著化（擴大化）了的。


6。即便數學平均值和標準方差值都相同，但兩個實際數列對數學平均值的幾何分佈也有可能不一樣。


7。僅當兩個數列的幾何分佈相同或相似時，用標準方差來評估他們的差別是比較可行的。


8。因爲假定大部分狀況下，對象的幾何分佈是隨機正態分佈的，
所以，用標準方差的大小來評估他們的組內數據差別是可行的。


9。……待增補。
一會兒寫這麼多，挺累的。

這是我本身對標準方差評估方法產生的一個推測，錯誤地方也許不少，請指正。

所以，個人理解，標準方差雖然是對客觀數列的一個客觀評估方式，
但它自己就是人爲規定的一種方法，不能徹底稱之爲絕對科學內容。

隨着人類科學的進步，從此也許能夠發明更理想的評估方式。

呵呵。