加油站問題 Gas Station

2019-06-01 17:09:30

問題描述：

問題求解：

其實本題本質上是一個數學題。

【定理】

對於一個循環數組，若是這個數組總體和 SUM >= 0，那麼必然能夠在數組中找到這麼一個元素：從這個數組元素出發，繞數組一圈，能保證累加和一直是出於非負狀態。

【證實】

從第一個數字開始進行累加和，中間必然會有一個累加和最低的點，咱們設爲x。最後的sum >= 0。

如今咱們從x出發向後累加，那麼必然處於非負狀態，而且到了最後一個站點還會有必定的盈餘，再從開始向最低點x進發也必然不會出現負數的狀況。

【Leetcode Discuss】

If sum of all gas[i]-cost[i] is greater than or equal to 0, then there is a start position you can travel the whole circle.
Let i be the index such that the the partial sum

gas[0]-cost[0]+gas[1]-cost[1]+...+gas[i]-cost[i]

is the smallest, then the start position should be start=i+1 ( start=0 if i=n-1). Consider any other partial sum, for example,

gas[0]-cost[0]+gas[1]-cost[1]+...+gas[i]-cost[i]+gas[i+1]-cost[i+1]

Since gas[0]-cost[0]+gas[1]-cost[1]+...+gas[i]-cost[i] is the smallest, we must have

gas[i+1]-cost[i+1]>=0

in order for gas[0]-cost[0]+gas[1]-cost[1]+...+gas[i]-cost[i]+gas[i+1]-cost[i+1] to be greater.
The same reasoning gives that

 gas[i+1]-cost[i+1]>=0 gas[i+1]-cost[i+1]+gas[i+2]-cost[i+2]>=0 ....... gas[i+1]-cost[i+1]+gas[i+2]-cost[i+2]+...+gas[n-1]-cost[n-1]>=0

What about for the partial sums that wraps around?

gas[0]-cost[0]+gas[1]-cost[1]+...+gas[j]-cost[j] + gas[i+1]-cost[i+1]+...+gas[n-1]-cost[n-1] >= gas[0]-cost[0]+gas[1]-cost[1]+...+gas[i]-cost[i] + gas[i+1]-cost[i+1]+...+gas[n-1]-cost[n-1] >=0

The last inequality is due to the assumption that the entire sum of gas[k]-cost[k] is greater than or equal to 0.
So we have that all the partial sums

gas[i+1]-cost[i+1]>=0, gas[i+1]-cost[i+1]+gas[i+2]-cost[i+2]>=0, gas[i+1]-cost[i+1]+gas[i+2]-cost[i+2]+...+gas[n-1]-cost[n-1]>=0, ... gas[i+1]-cost[i+1]+...+gas[n-1]-cost[n-1] + gas[0]-cost[0]+gas[1]-cost[1]+...+gas[j]-cost[j]>=0, ...

Thus i+1 is the position to start.

所以，對於本題來講，咱們能夠計算一下是否總的gas - cost >= 0?若是是，那麼必然存在一個解，在這個前提下，只須要遍歷一遍數組，若是碰到不能到達的狀況，那麼就從第一個不能到達的從新開始計算便可。

    public int canCompleteCircuit(int[] gas, int[] cost) {
        int n = gas.length;
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) sum += gas[i] - cost[i];
        if (sum < 0) return -1;
        int start = 0;
        int tank = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            tank += gas[i];
            if (tank < cost[i]) {
                start = i + 1;
                tank = 0;
            }
            else {
                tank -= cost[i];
            }
        }
        return start;
    }