python斐波那契數列複雜度

契數列

概述：

　　斐波那契數列，又稱黃金分割數列，指的是這樣一個數列：0、一、一、二、三、五、八、1三、2一、3四、……在數學上，斐波納契數列以以下被以遞歸的方法定義：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）在現代物理、準晶體結構、化學等領域，斐波納契數列都有直接的應用，爲此，美國數學會從1963起出版了以《斐波納契數列季刊》爲名的一份數學雜誌，用於專門刊載這方面的研究成果。

 

求解：

求解斐波那契數列的F(n)有兩種經常使用算法：遞歸算法和非遞歸算法。試分析兩種算法的時間複雜度。

1 遞歸算法

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

#!/usr/bin/env python # -*- coding:utf-8 -*-   def  fibonacci(n):      if  n  = =  0 :          return  0      elif  n < =  2 :          return  1      else :          return  fibonacci(n - 1 )  +  fibonacci(n - 2 )   fibonacci( 100 )

時間複雜度：求解F(n),必須先計算F(n-1)和F(n-2),計算F(n-1)和F(n-2)，又必須先計算F(n-3)和F(n-4)。。。。。。以此類推，直至必須先計算F(1)和F(0),而後逆推獲得F(n-1)和F(n-2)的結果，從而獲得F(n)要計算不少重複的值，在時間上形成了很大的浪費，算法的時間複雜度隨着N的增大呈現指數增加，時間的複雜度爲O(2^n)，即2的n次方　

2 非遞歸算法

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

#!/usr/bin/env python # -*- coding:utf-8 -*-   def  fibonacci(n):      if  n  = =  0 :          return  0      elif  n < =  2 :          return  1      else :          num1  =  1          num2  =  1          for  i  in  range ( 2 ,n - 1 ):              num2  =  num2  +  num1              num1  =  num2  -  num1          return  num1  +  num2 print (fibonacci( 100 ))

算法複雜度:從n>2開始計算，用F(n-1)和F(n-2)兩個數相加求出結果，這樣就避免了大量的重複計算，它的效率比遞歸算法快得多，算法的時間複雜度與n成正比，即算法的時間複雜度爲O(n)