斐波那契數列兩種算法的時間複雜度

這是2018王道數據結構考研複習指導的第一章思惟拓展的題目。

關於斐波那契數列的簡介：

　　斐波那契數列，又稱黃金分割數列，指的是這樣一個數列：0、一、一、二、三、五、八、1三、2一、3四、……在數學上，斐波納契數列以以下被以遞歸的方法定義：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）在現代物理、準晶體結構、化學等領域，斐波納契數列都有直接的應用，爲此，美國數學會從1963起出版了以《斐波納契數列季刊》爲名的一份數學雜誌，用於專門刊載這方面的研究成果。

 

具體題目：

求解斐波那契數列的F(n)有兩種經常使用算法：遞歸算法和非遞歸算法。試分析兩種算法的時間複雜度。

1.遞歸算法

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 
 4 long Fibonacci(int n) {
 5     if (n == 0)
 6         return 0;
 7     else if (n == 1)
 8         return 1;
 9     else
10         return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n-2);
11 }
12 
13 int main() {
14     cout << "Enter an integer number:" << endl;
15     int N;
16     cin >> N;
17     cout << Fibonacci(N) << endl;
18     system("pause");
19     return 0;
20 }

時間複雜度分析：

　　求解F(n),必須先計算F(n-1)和F(n-2),計算F(n-1)和F(n-2)，又必須先計算F(n-3)和F(n-4)。。。。。。以此類推，直至必須先計算F(1)和F(0),而後逆推獲得F(n-1)和F(n-2)的結果，從而獲得F(n)要計算不少重複的值，在時間上形成了很大的浪費，算法的時間複雜度隨着N的增大呈現指數增加，時間的複雜度爲O(2^n)，即2的n次方

2.非遞歸算法

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 
 4 long Fibonacci(int n) {
 5     if (n <= 2)
 6         return 1;
 7     else {
 8         long num1 = 1;
 9         long num2 = 1;
10         for (int i = 2;i < n - 1;i++) {
11             num2 = num1 + num2;
12             num1 = num2 - num1;
13         }
14         return num1 + num2;
15     }
16 }
17 
18 int main() {
19     cout << "Enter an integer number:" << endl;
20     int N;
21     cin >> N;
22     cout << Fibonacci(N) << endl;
23     system("pause");
24     return 0;
25 }

時間複雜度分析：

　　　從n(>2)開始計算，用F(n-1)和F(n-2)兩個數相加求出結果，這樣就避免了大量的重複計算，它的效率比遞歸算法快得多，算法的時間複雜度與n成正比，即算法的時間複雜度爲O(n).

 

參考博客：http://www.cnblogs.com/python27/archive/2011/11/25/2261980.html