非線性方程(一)

此爲全書第一章，主matlab入門——經過學習各類插值法：反線性插值、牛頓法之類。

 

一、diff

>> diff('x^2')

ans =

   -26   -44


>> diff(x^2)
 
ans =
 
2*x

　書上用的是加引號那個版本的，以致於我困了很久。

 

二、牛頓法

對  f(x) = (x*exp(x))/2 - 2*x^2 進行牛頓插值

解

>> x = 0: 0.05: 3;
>> y = 0.5*x.*exp(x) - 2*x.^2;
>> plot(x,y);grid

 

牛頓插值實現

1 >> f =inline('(x*exp(x))/2 - 2*x^2');
2 >> fp = inline('exp(x)/2 - 4*x + (x*exp(x))/2');  %f的導數
3 >> x0 = 0.4;
4 >> x0 = x0 - f(x0)/fp(x0)
5 
6 x0 =
7 
8     0.3611

其中line 4爲公式。

 

三、偏差初探

關於有限精度的做用能夠用解析方法進行研究，也是必須討論的內容，但這裏只研究其對割線法和有限差分牛頓法的影響。

考慮後一種算法。

example：

　　首先將其寫成擬牛頓法的形式，x_k+1 = x_k - f(x_k)/s_k , 其中  _sk  = (f(x _k +h) - f(x   _k ))/h；

如今用牛頓法近似f(x)在 x=1的導數。

>> x=1; h=0.1;
>> (log(x+h) - log(x))/h

ans =

    0.9531

對於0.1的步長，這個結果還算合理【書上原話= =

>> h=10.^(-(1:20))
>> (log(x+h) - log(x))./h

ans =

  Columns 1 through 5

    0.9531    0.9950    0.9995    1.0000    1.0000

  Columns 6 through 10

    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000

  Columns 11 through 15

    1.0000    1.0001    0.9992    0.9992    1.1102

  Columns 16 through 20

         0         0         0         0         0

>> plot(h, abs(ans-1), 'r'), grid

 

有圖能夠看到，偏差有一個時期是降低的，從大約h = 1E-12開始，偏差又開始增長。

這裏主要指出，當h很小時，上面的計算中有兩個因素在做怪：一個是分子中兩個接近相等的數之間的減法，另外一個是用很小的數做除數。

產生這些緣由在於計算機只能表示數字的有限多位。

附幾段關於計算機精度代碼

>> inf*2
ans =    Inf

>> inf -inf
ans =    NaN

>> eps
ans =    2.2204e-16


>> 1+eps
ans =    1.0000

>> 1+eps == 1
ans =    0



>> 1+eps/2
ans =      1

>> ans == 1
ans =     1



>> (1+eps/2) + eps/2
ans =    1

>> ans == 1
ans =    1



>> 1 + (eps/2 + eps/2)  %計算機加法不知足結合律
ans =    1.0000

>> ans == 1
ans =     0

>> x1= 0.1; x2= pi/2;
>> abs(sin(x1+err)- sin(x1))

ans =  9.9500e-11

>> abs(sin(x2+err)- sin(x2))

ans =  0

%在x接近(pi/2)【此時導數爲0】時sin(x)的求值要比x接近於零時的求值更加精確，由於零點的導數爲1.
%能夠看到f的導數(變化速度)越大，偏差也越大

>> err = 1e-6

err =    1.0000e-06

>> abs(sin(x1+err)- sin(x1))

ans =    9.9500e-07

>> abs(sin(x2+err)- sin(x2))

ans =    5.0004e-13